广西南宁市2021年秋季学期九年级数学期中义务教育质量监测

试卷更新日期：2021-08-15 类型：期中考试

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一、选择题

1. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 6 = 0$ ，经过配方可变形为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 10$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 6$ C、 ${(x - 4)}^{2} = 6$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 2$

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2. 已知反比例函数y $= \frac{k}{x}$ （k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过（）

A、第一、二、三象限 B、第一、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第二、三、四象限

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3. 如图，已知 $△ A B C$ ∽ $△ A C D$ ，则下列哪条线段与 $A D$ 的比等于相似比（）.

A、 $B D$ B、 $B C$ C、 $A C$ D、 $A B$

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4. 如图， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上直径 $A B$ 两侧的两点.设 $∠ A B C = 25 °$ ，则 $∠ B D C =$ （）

A、 $85 °$ B、 $75 °$ C、 $70 °$ D、 $65 °$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 边上， $D E // B C$ ， $E F // A B$ ，则下列式子一定正确的是（）

A、 $\frac{A D}{D B} = \frac{D E}{B C}$ B、 $\frac{A D}{D B} = \frac{B F}{F C}$ C、 $\frac{A D}{D B} = \frac{F C}{B F}$ D、 $\frac{A D}{D B} = \frac{F C}{B C}$

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6. 如图，将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 边向右平移得到 $△ D E F$ ， $D E$ 交 $A C$ 于点G.若 $B C ： E C = 3 ： 1$ . $S_{△ A D G} = 16$ .则 $S_{△ C E G}$ 的值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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7. 往水平放置的半径为 $13cm$ 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度 $A B = 24cm$ ，则水的最大深度为（）

A、 $5cm$ B、 $8cm$ C、 $10cm$ D、 $12cm$

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8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 $⊙ O$ 被水面截得的弦 $A B$ 长为6米， $⊙ O$ 半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 $A B$ 所在直线的距离是（）

A、1米 B、 $(4 - \sqrt{7})$ 米 C、2米 D、 $(4 + \sqrt{7})$ 米

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9. 如图，在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 中，点 $C$ 为圆上的一点， $\overset{⌢}{B C} = 3 \overset{⌢}{A C}$ ，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，弦 $A F$ 交 $C E$ 于点 $H$ ，交 $B C$ 于点 $G$ .若点 $H$ 是 $A G$ 的中点，则 $∠ C B F$ 的度数为（）

A、18° B、21° C、22.5° D、30°

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10. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c为常数， $a \neq 0$ ）与x轴交于 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ 两点，与y轴的正半轴交于点C ，顶点为D ．有下列结论：
① $2 a + b = 0$ ；

② $4 c - 3 b > 0$ ；

③当 $△ A B C$ 是等腰三角形时，a的值有2个；

④当 $△ B C D$ 是直角三角形时， $a = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 在同一直角坐标系中，函数 $y = k x - k$ 与 $y = \frac{k}{| x |} (k \neq 0)$ 的大致图象是（）

A、①② B、②③ C、②④ D、③④

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12. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + c$ 与直线 $y = k x + m$ 交于 $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ 两点，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + c \geq - k x + m$ 的解集是（）

A、 $x \leq - 3$ 或 $x \geq 1$ B、 $x \leq - 1$ 或 $x \geq 3$ C、 $- 3 \leq x \leq 1$ D、 $- 1 \leq x \leq 3$

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二、填空题

13. 已知 $△ A B C ∽ △ D E F$ ，它们的周长分别为 $3$ 和 $1$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 面积之比为.

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14. 如图，直线l₁∥l₂∥l₃ ，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为.

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15. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C 、 D$ 在 $⊙ O$ 上，若 $∠ A D C = 58 °$ ，则 $∠ B A C =$ °.

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16. 如图，在⊙O内接四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A B C = 100 °$ ，则 $∠ A D C =$ $°$ .

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17. 如图所示的扇形中，已知 $O A = 20 ， A C = 30 ， \overset{⌢}{A B} = 40$ ，则 $\overset{⌢}{C D} =$ .

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18. 我们规定：若 $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1}) ， \vec{b} = (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ .例如 $\vec{a} = (1 ， 3) ， \vec{b} = (2 ， 4)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14$ .已知 $\vec{a} = (x + 1 ， x - 1) ， \vec{b} = (x - 3 ， 4)$ ，且 $- 2 ⩽ x ⩽ 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值是.

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三、解答题

19. 解下列方程

(1)、 $x^{2} - 2 x = 0$

(2)、 $3 x (x - 1) = 2 - 2 x$

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20. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD²=BC·BE.
证明：△BCD∽△BDE.

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21. 如图： $\overset{⌢}{AC} = \overset{⌢}{BC}$ ，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：CD=CE.

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22. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点， CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M、N，弧AC=弧BD，求证：AM=BN.

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23. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E，若 $A B = 8$ ， $C D = 6$ ，求 $O E$ 的长．

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24. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点E是 $△ A B C$ 的内心，AE的延长线交BC于点F，交 $⊙ O$ 于点D，连接BD，BE.

(1)、求证： $D B = D E$ ；

(2)、若 $A E = 3$ ， $D F = 4$ ，求DB的长.

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25. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $D C$ 边的中点，连接 $A E$ ，若 $A E$ 的延长线和 $B C$ 的延长线相交于点F.

(1)、求证： $B C = C F$ ；

(2)、连接 $A C$ 和 $B E$ 相交于点为G，若 $△ G E C$ 的面积为2，求平行四边形 $A B C D$ 的面积.

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26. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与抛物线y＝x²+bx+c交于A，B（4，5）两点，点A在x轴上.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点E是线段AB上一动点（点A，B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

(3)、在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使∠PEF＝90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

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