初中数学浙教版九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用同步练习

试卷更新日期：2021-08-13 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，在 $Δ E C D$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B ⊥ E C$ 于点 $B$ ， $A B = 1.2$ ， $E B = 1.6$ ， $B C = 12.4$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、14 B、12.4 C、10.5 D、9.3

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2. 如图，已知 $△ A B C$ ．

⑴以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交 $A C$ 于点M ，交 $A B$ 于点N ．

⑵分别以M ， N为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ B A C$ 的内部相交于点P ．

⑶作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点D ．

⑷分别以A ， D为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径画弧，两弧相交于G ， H两点．

⑸作直线 $G H$ ，交 $A C$ ， $A B$ 分别于点E ， F ．

依据以上作图，若 $A F = 2$ ， $C E = 3$ ， $B D = \frac{3}{2}$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、 $\frac{5}{10}$ B、1 C、 $\frac{9}{4}$ D、4

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3. 过△ABC的重心G作GE∥BC交AC于点E，线段BC=12，线段GE长为（）

A、4 B、4.5 C、6 D、8

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4. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 $A B =$ （）

A、 $1 cm$ B、 $2 cm$ C、 $3 cm$ D、 $4 cm$

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5. 如图， $B C / / E D$ ，下列说法错误的是（）

A、两个三角形是位似图形 B、点A是两个三角形的位似中心 C、点B与点 D、点C与点E是对应位似点 D． $A C ： A B$ 是相似比

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6. 如图， $B E$ 与 $C D$ 交于点 $A ， ∠ C = ∠ E ， A C = 2 ， B C = 4 ， A E = 1.5$ ，则 $D E =$ （）

A、2 B、3 C、3.5 D、4

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7. 如图，把 $△ A B C$ 沿着 $B C$ 的方向平移到 $△ D E F$ 的位置，它们重叠部分的面积是 $△ A B C$ 面积的一半，若 $B C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 移动的距离是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{2}$

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8. 小刚身高 $1.7 m$ ，测得他站立在阳光下的影子长为 $0.85 m$ ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 $1.11 m$ ，那么小刚举起的手臂超出头顶（　　）

A、 $0.5 m$ B、 $0.52 m$ C、 $0.55 m$ D、 $2.22 m$

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9. 《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD ，点E ， G分别为CD ， AD的中点，EF⊥CD ， GH⊥AD ，点F ， D ， H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（　　）

A、150步 B、200步 C、250步 D、300步

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交AB于点N，若M是BG的中点，则 $\frac{B N}{A N}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{15}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{12}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{24}$

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二、填空题

11. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 $4.5 m$ 的竹竿 $A C$ 斜靠在石坝旁，量出竿上 $A D$ 长为 $1 m$ 时，它离地面的高度 $D E$ 为 $0.6 m$ ，则坝高 $C F$ 为 $m$ ．

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12. 已知点D与点A（0，6）、B（0，﹣4）、C（x ， y）是平行四边形的四个顶点，其中x、y满3x﹣4y+12＝0，则CD的最小值为．

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13. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置B绕点O旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为

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14. 如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将 $△ C D F$ 沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E ．若 $A E = 5$ ，则GE的长为．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，过点B作 $B D ⊥ C B$ ，垂足为B ，且 $B D = 3$ ，连接CD ，与AB相交于点M ，过点M作 $M N ⊥ C B$ ，垂足为N ．若 $A C = 2$ ，则MN的长为．

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16. 如图， $Δ A B C$ 中，G为重心， $S_{Δ B G C} = 2$ ，那么 $S_{Δ A B C}$ =；

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三、解答题

17. 如图，利用标杆 $D E$ 测量楼高，点A，D，B在同一直线上， $D E ⊥ A C$ ， $B C ⊥ A C$ ，垂足分别为E，C.若测得 $A E = 1 m$ ， $D E = 1.5 m$ ， $C E = 5 m$ ，楼高 $B C$ 是多少？

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18. 如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像；再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m，已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD⊥OD，FB⊥OD，EO⊥OD.求大树OE的高度.（平面镜的大小忽略不计）

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19. 九年级活动小组计划利用所学的知识测量操场旗杆高度.测量方案如下：如图，小卓在小越和旗杆之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小卓看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时看到旗杆顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记点C重合，这时测得小卓眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝1米，然后在阳光下，小越从D点沿DM方向走了15.8米到达F处此时旗杆的影子顶端与小越的影子顶端恰好重合，测得FG＝1.6米，FH＝3.2米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM若测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息求出旗杆的高AB.

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20. 某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实践活动，该校九年级学生积极参与.小红和小华决定利用下午课间的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度.同一时刻测量站在旗杆旁边的小红（CD）和旗杆AB的影长时，发现旗杆的影子一部分落在地面上（BF），另一部分落在了距离旗杆24m的教学楼上（EF）.经测量，小红落在地面上的影长DG为2.4m，教学楼上的影长EF为2m.已知小红的身高是1.6m，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆AB的高度.

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21. 已知：在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在AC、AB上，且满足 $∠ A B D = ∠ A C E$ ，求证： $A D \cdot C E = A E \cdot B D$ .

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22. 如图所示是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，AB⊥BC于点B，CE⊥BC于点C，测得BD＝150m，DC＝75m，EC＝60m，求河宽AB.

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23. 王老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 $A C$ 时，为避免上楼时墙角 $F$ 碰头，设计墙角 $F$ 到楼梯的竖直距离 $F G$ 为 $1.75 m$ ，他量得客厅高 $A B = 2.8 m$ ，楼梯洞口宽 $A F = 2 m$ ，阁楼阳台宽 $E F = 3 m$ .请你帮助王老师解决问题：要使墙角 $F$ 到楼梯的竖直距离 $F G$ 为 $1.75 m$ ，楼梯底端 $C$ 到墙角 $D$ 的距离 $C D$ 是多少米？

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四、综合题

24. 问题背景：

(1)、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于D，求证： $\frac{A D}{B D} = \frac{A C^{2}}{B C^{2}}$ ；

(2)、如图2，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点E为 $B C$ 中点， $C D ⊥ A E$ 于D， $B D$ 交 $A C$ 于F，若 $∠ A B C = 30 °$ ，求 $\frac{A F}{C F}$ 的值；

(3)、如图3，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点E为 $B C$ 中点， $C D ⊥ A E$ 于D， $B D$ 交 $A C$ 于F，若 $\frac{B C}{A C} = n$ ，直接写出 $\tan ∠ A D F$ 的值.

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