2021-2022学年高中数学高二上学期开学考试试卷

试卷更新日期：2021-08-12 类型：开学考试

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一、单选题

1. 倾斜角为45°，在 $y$ 轴上的截距是-2的直线方程为（）．

A、 $x - y + 2 = 0$ B、 $x - y - 2 = 0$ C、 $x - \sqrt{2} y - 2 = 0$ D、 $x + \sqrt{2} y + 2 = 0$

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2. 已知直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 与直线 $2 x + m y + 1 = 0$ 平行，则它们之间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 3, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, 4)$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(- 1, 1, 5)$ B、 $(- 3, 5, - 3)$ C、 $(3, - 5, 3)$ D、 $(1, - 1, - 5)$

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4. 已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量 $\vec{a}$ = $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ ，向量 $\vec{b} =$ $\vec{O A} + \vec{O B} - \vec{O C}$ ，则不能与 $\vec{a}, \vec{b}$ 构成空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{O A}$ B、 $\vec{O B}$ C、 $\vec{O C}$ D、 $\vec{O A}$ 或 $\vec{O B}$

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5. 在空间直角坐标系中，点 $A (2, - 1, 3)$ 关于 $O x y$ 平面的对称点为 $B$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} =$ （）

A、－4 B、－10 C、4 D、10

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6. 对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系： $6 \vec{O P} = \vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C}$ ，则（）

A、四点O，A，B，C必共面 B、四点P，A，B，C必共面 C、四点O，P，B，C必共面 D、五点O，P，A，B，C必共面

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7. 直线 $3 x - y + 1 = 0$ 的斜率是（）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 D、 $- \frac{1}{3}$

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8. 已知直线L₁：ax+3y﹣3＝0，与直线L₂：4x+6y﹣1＝0平行，则a的值是（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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9. 关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是（）

A、所有的直线都有倾斜角和斜率 B、所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率 C、直线的倾斜角和斜率有时都不存在 D、所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角

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10. 直线3x＋5y＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0的交点是（）

A、(－2，1) B、(－3，2) C、(2，－1) D、(3，－2)

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11. 过点(5，2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是（）

A、2x＋y－12＝0 B、2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C、x－2y－1＝0 D、x＋2y－9＝0或2x－5y＝0

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12. 若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，则实数a为（）

A、－1 B、5 C、－1或5 D、－3或3

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二、多选题

13. 下列说法中，正确的有（）

A、过点 $P (1, 2)$ 且在 $x$ ， $y$ 轴截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$ B、直线 $y = 3 x - 2$ 在 $y$ 轴上的截距为 $- 2$ C、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $60 °$ D、过点 $(5, 4)$ 并且倾斜角为 $90 °$ 的直线方程为 $x - 5 = 0$

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1, 0)$ ，则与 $\vec{a}$ 共线的单位向量 $\vec{e} =$ （）

A、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ B、 $(0, 1, 0)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ D、 $(- 1, - 1, 0)$

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三、填空题

15. 已知直线 $l_{1} ： (m - 1) x - 3 y + 3 = 0$ 和直线 $l_{2} ： 2 x + m y - 5 = 0$ 垂直，则实数 $m =$ .

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16. 已知 $\overset{⇀}{a} = (2, 1, 3)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 4, 2, x)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | =$ .

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17. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $\overset{⇀}{B D} = x \overset{⇀}{A D} + y \overset{⇀}{A B} + z \overset{⇀}{A A_{1}}$ ，则 $x + y + z$ 的值为。

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18. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 4, y, 2)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} + b)$ ，则 $y$ 的值为．

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四、解答题

19. 根据所给的条件求直线的方程：

(1)、直线过点（-4，0），倾斜角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ；

(2)、直线过点（5，10），到原点的距离为5.

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20. 已知 $Δ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 2 ， 4) ， B (- 1 ， 1) ， C (3 ， 3)$ .

(1)、求边 $B C$ 的垂直平分线的方程；

(2)、求 $Δ A B C$ 的面积.

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21. 已知点A（2，1，1），B（0，1，﹣1），C（1，0，1），试找出平面ABC的﹣个法向量．

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22. 已知直线l过直线l₁：3x﹣5y﹣10=0和l₂：x+y+1=0的交点，且平行与l₃：x+2y﹣5=0，求直线l的方程．

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23. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $E$ 是 $P B$ 的中点，作 $E F ⊥ P C$ 交 $P C$ 于点 $F$ ，且 $\vec{P F} = \frac{4}{9} \vec{P C}$ ．

(1)、求证： $P C ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、求平面 $D E F$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值．

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24. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $A B = 2 B C = 2$ ， $E$ 为棱 $A B$ 的中点， $F$ 为线段 $D_{1} C$ 的中点．

(1)、求异面直线 $E F$ 与 $A D_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线 $A D_{1}$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值．

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