河南省信阳市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-12 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 用系统抽样的方法从全校1000人中抽取50人做问卷调查，并将他们随机编号为0，1，2，3，4，…，999，已知第一组中采用抽签法抽到的号码为19，则第三组抽取的号码是（）

A、29 B、39 C、49 D、59

查看试题解析
2. 下列三角函数值为负数的是（）

A、 $\sin 2$ B、 $\cos 3$ C、 $tan 4$ D、 $\cos (- 5)$

查看试题解析
3. 在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{A B} + 2 \vec{A C}$ D、 $2 \vec{A B} + \vec{A C}$

查看试题解析
4. 已知角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P (- \frac{1}{3} ， y) (y > 0)$ ，则 $\sin α$ 等于（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

查看试题解析
5. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ ， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{C B}$ 上的投影为（）

A、 $- \frac{9}{5}$ B、 $\frac{9}{5}$ C、 $- \frac{16}{5}$ D、 $\frac{16}{5}$

查看试题解析
6. 魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率，首创“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出 $n$ 的值为（）

（参考数据： $\sin 15 ° = 0.2588$ ）

A、12 B、24 C、48 D、96

查看试题解析
7. 函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 图象的一个对称中心为（）

A、 $(π ， 0)$ B、 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ C、 $(\frac{π}{8} ， 0)$ D、 $(- \frac{π}{4} ， 0)$

查看试题解析
8. 若 $A$ ， $B$ 是随机事件，则下列说法正确的是（）

A、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ B、 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ C、若 $A$ ， $B$ 是对立事件，则 $A$ ， $B$ 互斥 D、若 $A$ ， $B$ 是互斥事件，则 $A$ ， $B$ 对立

查看试题解析
9. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生一组随机数：
937   966   191   925   274   932   812   458   569   683

431   257   393   027   556   488   730   123   537   986

若用1，3，5，7，9表示下雨，用0，2，4，6，8表示不下雨，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{7}{20}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{8}$

查看试题解析
10. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在半圆 $O$ 上， $A O C D$ 为正方形，在图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{2}{π}$ B、 $\frac{1}{π + 2}$ C、 $\frac{2}{π + 2}$ D、 $\frac{2}{π + 4}$

查看试题解析
11. 为了得到函数 $y = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ 的图像，只要将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ ，其中 $ω > 0$ ， $| φ | \leq \frac{π}{2} ， - \frac{π}{4}$ 为 $f (x)$ 的零点：且 $f (x) \leq | f (\frac{π}{4}) |$ 恒成立， $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{π}{24})$ 区间上有最小值无最大值，则 $ω$ 的最大值是（）

A、11 B、13 C、15 D、17

查看试题解析

二、填空题

13. 将三进制数2021_（3）化为十进制数为 .

查看试题解析
14. 一组数据 $x_{1}$ ， $x_{1}$ ，…， $x_{n}$ ，的平均数为7，则数据 $3 x_{1} - 4$ ， $3 x_{2} - 4$ ，…， $3 x_{n} - 4$ 的平均数为．

查看试题解析
15. 已知向量 $\vec{a} = (\sin α ， \cos α)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ 共线，则 $\sin 2 α - \cos 2 α =$ ．

查看试题解析
16. 古希腊的数学家毕达哥拉斯最先发现和研究了黄金分割．我们把底与腰的长度比等于黄金比值 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的等腰三角形叫做黄金三角形，已知黄金三角形的顶角为36°，则 $\cos 36 ° =$ ．

查看试题解析

三、解答题

17. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 与 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 垂直，求实数 $λ$ 的值．

查看试题解析
18. 某厂生产内径为 $10.00 mm$ 的一种精密零件，从生产的零件中抽出100件，将内径尺寸绘制成频率分布直方图（如图），其中样本数据分5组．分别为 $[9.90 ， 9.94)$ ， $[9.94 ， 9.98)$ ， $[9.98 ， 10.02)$ ， $[10.02 ， 10.06)$ ， $[10.06 ， 10.10]$ ．

规定：尺寸在 $[9.98 ， 10.02)$ 的零件为优质品，尺寸在 $[9.94 ， 9.98)$ 和 $[10.02 ， 10.06)$ 的零件为合格品，尺寸在 $[9.90 ， 9.94)$ 和 $[10.06 ， 10.10]$ 的零件为次品．

(1)、估计该厂的优质品率与次品率；

(2)、从该厂生产零件的样本尺寸在 $[9.98 ， 10.06)$ 的零件中，按分层抽样的方法随机抽取7件，再从中抽出两件进行检测，求两个零件中至少有一件是优质品的概率；

(3)、已知生产一件产品的利润 $y$ （单位：元）与零件的等级如下表所示：

零件等级

优质品

合格品

次品

利润 $y$

20

10

-20

估计该厂生产上述100件零件平均一件的利润．

查看试题解析
19. 为了全面提高学生的体质健康水平，充分发挥体育考试的激励作用，信阳市今年中考体育考试成绩以满分70分计人中招成绩总分（其中中长跑满分30分）．甲、乙两名同学进行了多次中长跑训练，现将甲、乙两同学10次的训练成绩记录如下：
甲：24，23，28，23，28，20，26，28，25，25；

乙：16，30，30，28，29，28，26，23，29，28．

(1)、完成两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两名同学的成绩作比较，写出两个统计结论；

(2)、设甲同学平均成绩为 $x$ ，将这10次成绩依次输入，按程序框（如图）进行运算，问输出的 $S$ 大小为多少？并说明 $S$ 的统计学意义．

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x (x \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最大值与最小值，并求 $f (x)$ 取最大值与最小值时的 $x$ 的值．

查看试题解析
21. 2021年3月的中美高层战略对话中国代表的表现令国人振奋，印有杨洁篪“中国人不吃这一套”金句的T恤衫成为热销产品．某商场在五天内这种T恤衫的销售情况如下表：

第 $x$ 天

1

2

3

4

5

销售量 $y$ （件）

17

38

59

80

106

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、若每件T恤衫利润为20元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该商场第8天能获利多少元？
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 17 \times 1 + 38 \times 2 + 59 \times 3 + 80 \times 4 + 106 \times 5 = 1120$ ．

参考公式：回归直线的方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 ${\begin{array}{l} \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \\ \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} . \end{array}$

查看试题解析
22. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2 \cos x ， 1) ， \vec{b} = (\cos x ， \sqrt{3} \sin 2 x + m) ，$ 函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \vec{b} .$

(1)、若 $x \in R$ 时，不等式 $- 3 < f (x) < 3$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in [0 ， π]$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的零点情况.

查看试题解析

零件等级	优质品	合格品	次品
利润 $y$	20	10	-20

第 $x$ 天	1	2	3	4	5
销售量 $y$ （件）	17	38	59	80	106