贵州省威宁县2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 数列后 $\sqrt{3}$ ，3， $\sqrt{15}$ ， $\sqrt{21}$ ，…，则 $\sqrt{39}$ 是这个数列的第（）

A、8项 B、7项 C、6项 D、5项

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2. 如图，已知水平放置的 $△ A B C$ 按斜二测画法得到的直观图为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，若 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $A^{'} C^{'} = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、12 B、 $6 \sqrt{2}$ C、6 D、3

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 10$ ， $S_{20} = 20$ ，则 $S_{30} =$ （）

A、20 B、10 C、40 D、30

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4. $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A = 30 °$ ， $a = 3$ ，若这个三角形有两解，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $3 < b \leq 6$ B、 $3 < b < 6$ C、 $b < 6$ D、 $b \leq 6$

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5. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最大棱长为（）

A、 $\sqrt{5} a$ B、 $\sqrt{6} a$ C、 $\sqrt{7} a$ D、 $2 \sqrt{2} a$

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6. 一艘海盗船从 $C$ 处以 $20 \sqrt{3}$ km/h的速度沿着北偏东20°的方向前进，在 $C$ 点南偏东40°距离为 $20 \sqrt{3}$ km的 $B$ 处有一海警船，沿着北偏西10°的方向快速拦截，若要拦截成功，则海警船速度至少为（）

A、 $20 \sqrt{3}$ km/h B、 $40 \sqrt{3}$ km/h C、 $50 \sqrt{3}$ km/h D、60km/h

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7. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 6 \leq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 ， \\ 2 x - y + 1 \geq 0 ， \end{array}$ ，则 $z = \frac{y - 1}{x + 1}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{12}{7}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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8. 已知 $x$ ， $y \in R$ ，且 $x > y$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{2}{x} < \frac{2}{y}$ B、 $e^{x} + e^{- y} < e^{y} + e^{- x}$ C、 ${(\frac{1}{3})}^{x} - {(\frac{1}{3})}^{y} < 0$ D、 $x^{2} > y^{2}$

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9. 已知 $m$ 、 $n$ 表示两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 表示两个不同的平面，则（）

A、若 $m // α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ B、若 $m // α$ ， $β ⊥ α$ ，则 $m // β$ C、若 $m // α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m // α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$

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10. 在空间四边形 $A B C D$ 中， $A B = C D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $A D$ 的中点，若 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为40°，则 $E F$ 与 $A B$ 所成角的大小为（）

A、20° B、70° C、20°或70° D、40°或140°

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11. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\frac{2}{x} + \frac{2}{y}$ 有最小值4 B、 $x y$ 有最小值1 C、 $2^{x} + 2^{y}$ 有最大值4 D、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 有最小值4

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12. 对于数列 ${a_{n}}$ ，定义 $Y_{n} = \frac{a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 2^{n - 1} a_{n}}{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的“美值”，现在已知某数列 ${a_{n}}$ 的“美值” $Y_{n} = 2^{n + 1}$ ，记数列 ${a_{n} - t n}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} \leq S_{10}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{11}{5} ， \frac{12}{5}]$ B、 $(\frac{11}{5} ， \frac{12}{5})$ C、 $[\frac{24}{11} ， \frac{11}{5}]$ D、 $(\frac{18}{11} ， \frac{11}{5})$

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二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $\cos B = \frac{5}{13}$ ，则 $\sin A =$ ．

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14. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y \geq 3 ， \\ x - y \leq 0 ， \\ x + y \leq 4 ， \end{array}$ 则 $z = x - 2 y + 3$ 的最小值为．

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15. 已知正整数数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 3 a_{n} + 1 ， a_{n} 为奇数， \\ \frac{a_{n}}{2} ， a_{n} 为偶数， \end{array}$ 则当 $a_{1} = 8$ 时， $a_{2021} + a_{2022} + a_{2023} =$ ．

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16. 端午节是中国的传统节日，“咸蛋黄”口味的粽子也越来越受人们的喜爱，高三年级各班进行了包粽子大赛，我们把粽子的形状近似为一个正四面体，蛋黄近似为一个球体，当这个球体与正四面体的六条棱都相切时小组获得奖励，若某小组获得了奖励，他们包的粽子棱长为3，则放入粽子的蛋黄的体积等于．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{3} = 6$ ， $S_{6} = 42$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 (k - 1) x + k^{2} + 2$ ．

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 3}$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 6]$ 上不单调，求实数 $k$ 的取值范围．

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19. 如图甲，已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，点 $M$ ， $N$ ， $Q$ 分别在 $P A$ ， $B D$ ， $P D$ 上

(1)、若 $P M ： M A = B N ： N D = P Q ： Q D$ ，求证：平面 $M N Q //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、如图乙所示，若 $Q$ 满足 $P Q ： Q D = 2$ ， $P M = t P A$ ，当 $t$ 为何值时， $B M //$ 平面 $A Q C$ ．

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20. 锐角 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $\sqrt{3} b \sin C + \sqrt{3} c \sin B = 4 a \sin B \sin C$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ， $D$ 是 $B C$ 上的点， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，求 $A D$ ．

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21. 如图，已知在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A B$ 上一点，且 $D C = 2 A A_{1} = 2 A D = 4 A E = 4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证：平面 $B_{1} D E ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求三棱锥 $C_{1} - A_{1} D E$ 的体积．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n} = x a_{n - 1} + n - 2 (n \geq 2)$ ，其中 $x \in R$ ．

(1)、若 $x = 1$ ，求 $a_{n}$ ；

(2)、是否存在实数 $x$ ， $y$ 使 ${a_{n} - y n}$ 为等比数列？若存在，求出 $S_{n}$ ；若不存在，请说明理由．

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