贵州省铜仁市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $(x - 1) (x + 4) < 0$ 的解集为（）

A、 ${x | x < - 4$ 或 $x > 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 4}$ C、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 4}$ D、 ${x | - 4 < x < 1}$

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2. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中，首项为2，公比为2，则 $a_{10} =$ （）

A、20 B、512 C、1024 D、2012

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3. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = 45 °$ ， $B = 60 °$ ， $b = \sqrt{6}$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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4. 下列命题正确的是（）

A、棱柱的底面一定是平行四边形 B、棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 C、棱锥的底面一定是三角形 D、棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

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5. 直线 $l$ 经过原点 $O$ 和点 $A (1 ， - 1)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角是（）

A、45° B、135° C、45°或135° D、-45°

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6. 两圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $C_{2}$ ： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 的公切线条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 直线 $x + 3 y + 3 = 0$ 与直线 $m x + 2 y - 4 = 0$ 垂直，则 $m$ 的值为（）

A、-6 B、 $\frac{2}{3}$ C、6 D、 $- \frac{2}{3}$

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8. 两直线 $a$ 与 $b$ 是异面直线， $b / / c$ ，则 $a$ 、 $c$ 的位置关系是（）

A、平行或相交 B、异面或平行 C、异面或相交 D、平行或异面或相交

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9. 如果实数 $x$ ， $y$ 满足条件 ${\begin{array}{l} y \leq 1 ， \\ x - y - 1 \leq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、5 D、6

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10. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 表示直线， $α$ 表示平面，给出下列命题：
①若 $a // α$ ， $b // α$ ，那么 $a // b$ ；②若 $b \subset α$ ， $a // α$ ，那么 $a // b$ ；③若 $a ⊥ c$ ， $b ⊥ c$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ；④若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，那么 $a // b$ ．其中正确的命题个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 如图，一个空间几何体三视图均为直角边上1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、 $3 π$ B、 $π$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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12. 若当 $x \in [- 2 ， 2]$ 时，不等式 $| k x - \sqrt{4 - x^{2}} + 6 | \geq \sqrt{k^{2} + 1}$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ C、 $(- \infty ， - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 1]$

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二、填空题

13. 已知直线 $l_{1}$ ： $x - m y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $2 x - 6 y + 5 = 0$ ，且 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $m$ 的值为．

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14. 已知直线 $a x + b y - 1 = 0$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）平分圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16$ 的圆周，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为．

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15. 已知圆柱的上下底面的中心分别为 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ，过直线 $O_{1} O_{2}$ 的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为．

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16. 已知 $P (a ， b)$ 为圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 9$ 上第二象限的一动点，直线 $P A$ ， $P B$ 与圆 $O$ 的另一个交点分别为 $A$ ， $B$ ，且直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率之和为0，则直线 $A B$ 的斜率是．

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三、解答题

17. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 2$ ， $B B_{1} = 1$ ，求线段 $B D_{1}$ 的长．

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18. 已知 $△ A B C$ 的顶点坐标为 $A (- 5 ， - 1)$ ， $B (- 1 ， 1)$ ， $C (- 2 ， 3)$ ．

(1)、试判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、求 $A C$ 边上的高所在直线的方程．

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ C A B = 60 °$ ， $A C = A B = A A_{1}$ 且 $D$ ， $E$ 分别是 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $C A_{1} //$ 平面 $A D B_{1}$ ；

(2)、求证： $B E ⊥$ 平面 $A D B_{1}$ ．

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20. 在锐角 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 是角 $A ， B ， C$ 的对边， $\sqrt{3} \sin C - \cos B = \cos (A - C)$ .

(1)、求角 $A$ 的度数；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，且 $Δ A B C$ 的面积是 $3 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ .

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21. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2}$ （ $n \in N^{*}$ ），数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2$ ， $b_{n + 1} = 3 b_{n} + 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；并证明：数列 ${b_{n} + 1}$ 是等比数列；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} \cdot (b_{n} + 1)$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

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22. 已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1} ：$ $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $Α$ ， $Β$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；

(2)、求线段 $Α Β$ 的中点 $Μ$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(3)、是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L：$ $y = k (x - 4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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