贵州省黔西南州2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $2 \sqrt{2} x + 2 \sqrt{6} y - 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、150° B、120° C、60° D、30°

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2. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} a_{7} = 36$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、6 C、 $\pm \sqrt{6}$ D、 $\pm 6$

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3. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $B = 60 °$ ， $a = 5$ ， $c = 4$ ，则 $b =$ （）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{21}$ D、 $\sqrt{31}$

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4. 已知直线 $l_{1} ： y = 3 x - 2$ ，直线 $l_{2} ： 6 x - 2 y + 1 = 0$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $(a + b + c) (a + b - c) = a b$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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6. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + \frac{4}{y} = 8$ ，则 $\frac{x}{y}$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、6 D、8

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7. 已知 $l$ ， $m$ ， $n$ 是不重合的直线， $α$ ， $β$ 是不重合的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $α // β$ ， $n // α$ ，则 $n // β$ B、若 $m // α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$ C、若 $α \cap β = n$ ， $m // n$ ，则 $m // β$ D、若 $m$ ， $n$ 是异面直线， $m // α$ ， $n // α$ ， $l ⊥ m$ 且 $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$

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8. 若方程 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 1 - 2 m = 0$ 表示圆，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 6 ， + \infty)$ B、 $(6 ， + \infty)$ C、 $(- 7 ， + \infty)$ D、 $(7 ， + \infty)$

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9. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} y \geq x - 1 \\ y \leq 3 \\ x \geq 2 \end{array}$ ，则目标函数 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、5 B、7 C、11 D、13

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10. 设四面体 $A B C D$ 的每个顶点都在球 $O$ 的球面上， $A C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C ⊥ C D$ ，且 $A C = B C = 1$ ， $C D = 2$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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11. 一条经过点 $A (- 4 ， 2)$ 的入射光线 $l$ 的斜率为 $- 2$ ，若入射光线 $l$ 经 $x$ 轴反射后与 $y$ 轴交于点 $B$ ， $O$ 为坐标原点，则 $△ A O B$ 的面积为（）

A、16 B、12 C、8 D、6

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，中， $M$ ， $N$ 分别为正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 和 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心， $A B = 3$ ，则平面 $C M N$ 截正方体所得截面的周长是（）

A、10 B、40 C、 $\sqrt{10}$ D、 $4 \sqrt{10}$

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二、填空题

13. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{7} = 9$ ， $a_{2} + a_{6} = 6$ ，则 $a_{5} =$ ．

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14. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + 9 b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为．

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15. 已知圆 $O_{1} ： {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 与圆 $O_{2} ： {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 外切，则 $r =$ ．

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16. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ ，则 $\sin A + \sin C$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A (0 ， 3)$ ， $B (4 ， 1)$ ， $C (5 ， 2)$ ，且 $E$ 为线段 $C D$ 的中点.

(1)、求线段 $C D$ 的垂直平分线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、直线 $l_{2}$ 经过点 $D$ ，且 $B E // l_{2}$ ，求 $l_{2}$ 在 $y$ 轴上的截距．

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18. 已知函数 $f (x) = (x - 3 m) (x + m + 4)$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求不等式 $f (x) > - 12$ 的解集；

(2)、记不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $A$ ，若 $- 4 \notin A$ ，求 $m$ 的取值范围．

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19. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} + a_{5} = 10$ ， $a_{8} = 13$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} a_{n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $a = 2 \sqrt{7}$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ，且 $\sqrt{3} \cos C - 2 \sin C = 0$ ．

(1)、求边长 $c$ ；

(2)、若点 $D$ 为边 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的长.

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21.

(1)、求经过点 $A (2 ， 5)$ ，点 $B (2 ， 3)$ ，且圆心在直线 $y = 2 x - 4$ 上的圆的方程；

(2)、已知圆 $C$ 上的点 $D (2 ， 4)$ 关于直线 $x + 2 y = 0$ 的对称点仍在圆 $C$ 上，圆 $C$ 的面积为 $25 π$ ，圆心 $C$ 在第二象限，且直线 $3 x - 4 y - 5 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $E$ ， $F$ 两点，求 $| E F |$ ．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $A B$ ， $C D$ ， $P A$ 的中点，点 $M$ 为 $G D$ 上的动点．

(1)、证明： $E M //$ 平面 $P B F$ ．

(2)、若 $P A = A B = 2$ ，求点 $M$ 到平面 $P B F$ 的距离．

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