贵阳市普通中学2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知两点 $A (1 ， \sqrt{3})$ 和 $B (- 2 ， 0)$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点(2，-1，2)关于 $y O z$ 平面的对称点坐标为（）

A、(2，1，2) B、(-2，-1，-2) C、(2，-1，-2) D、(-2，-1，2)

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3. 已知直线 $l$ 经过圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 y = 0$ 的圆心且与直线 $l_{0} ： 2 x - 3 y + 2 = 0$ 平行，则 $l$ 的方程是（）

A、 $3 x - 2 y - 2 = 0$ B、 $2 x - 3 y - 1 = 0$ C、 $2 x - 3 y - 3 = 0$ D、 $3 x + 2 y + 2 = 0$

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4. 若实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a < b < 0 < c$ ，则下列不等式中不一定成立的是（）

A、 $a c < b c$ B、 $b^{2} < c^{2}$ C、 $a - c < c - b$ D、 $\frac{a + b}{b} > \frac{c + a}{c}$

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5. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = \frac{1}{16}$ ，则 $a_{3}$ =（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\pm \frac{1}{4}$ D、 $\pm \frac{1}{8}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，若有 $\sin^{2} (B + C) = \sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin B \sin C$ ，则角 $A$ 的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）

A、6 斤 B、9 斤 C、9.5斤 D、12 斤

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8. 某三棱锥的三视图如图中粗实线所示(每个小方格的长度为1)，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $18 π$ C、 $22 π$ D、 $29 π$

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9. 在数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = 3 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2021}$ =（）

A、1 B、2 C、3 D、2021

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10. 若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 6 a x + a + 8 \geq 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、(0，1] B、(-∞，1] C、[0，1] D、[1，+∞)

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二、填空题

11. 已知直线 $l_{1} ： x + (a + 1) y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} ： a x - 3 y + 2 = 0$ 垂直，则实数 $a$ 的值为.

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12. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y - 2 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为.

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13. 函数 $y = x + \frac{1}{x - 1}$ $(x > 1)$ 的最小值是．

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14. 设 $α$ ， $β$ 是不重合的两个平面， $a$ ， $b$ 是不重合的两条直线，给出下列命题：
①若 $α // β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a$ 与 $b$ 是异面直线；

②若 $α // β$ ， $a / / b$ ， $a ⊥ α$ ，则 $b ⊥ β$ ；

③若 $a ⊥ β$ ， $a / / b$ ， $b \subset α$ ，则 $α ⊥ β$ ；

④若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $a / / b$ ，则 $α // β$ ；

其中所有正确命题的序号是.

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15. 若 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = \sqrt{2} B C$ ，则 $\sin A$ 的最大值为.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $A$ 为锐角， $2 a \sin B = \sqrt{3} b$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、设 $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，若 $b = 3$ ， $c = 1$ ，请选择以下思路之一求出 $A D$ 的长.
思路①：利用 $\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{{(\frac{a}{2})}^{2} + c^{2} - A D^{2}}{a c}$ ……

思路②：利用 $\cos ∠ A D B = - \cos ∠ A D C$ ……

思路③：利用 $A D = | \vec{A D} | = | \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) |$ ……

思路④：其它方法……

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17. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} + a_{3} = - 2$ ， $S_{15} = 75$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{a_{n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知以点 $A (1 ， 1)$ 为圆心的圆与直线 $l_{1} ： x + 2 y + 2 = 0$ 相切，过点 $B (2 ， 0)$ 的动直线 $l$ 与圆 $A$ 相交于 $M$ ､ $N$ 两点.

(1)、求圆 $A$ 的方程；

(2)、当 $| M N | = 4$ 时，求直线 $l$ 的方程.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A A_{1} = B C = A C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求异面直线 $A C_{1}$ 与 $B C$ 所成角的大小；

(2)、在线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $D E //$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ？如果存在，请在图中作出点 $E$ ，(不写做法，但保留作图痕迹)并加以证明；如果不存在，请说明理由.

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20. （阅读材料）数学命题的推广是数学发展不可缺少的一种手段，同时也是一项富有挑战性和创造性的活动.我们知道，在 $△ A B C$ 中，记角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，边与角的关系满足正弦定理： $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ .下面是正弦定理在空间中的一种推广：在对棱分别相等的三棱锥中，侧棱和其所对二面角的正弦值之比相等.如：在三棱锥 $A - B C D$ 中，若 $A B = C D = a$ ， $A D = B C = b$ ， $A C = B D = c$ ，记 $A B$ 所对的二面角 $B - C D - A$ 的大小为 $α$ ， $A D$ 所对的二面角 $A - B C - D$ 的大小为 $β$ ， $A C$ 所对的二面角 $A - B D - C$ 的大小为 $γ$ .满足： $\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}$ .根据以上阅读材料，解答以下两个问题：

(1)、正四面体 $A - B C D$ 中，已知棱长 $A B = 2$ ，二面角 $A - C D - B$ 的大小为 $α$ ，求 $\frac{A B}{\sin α}$ 的值；

(2)、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ，容易得出：平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ ，求二面角 $B - A_{1} D - C_{1}$ 的大小.

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