福建省莆田市2020-2021学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-08-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = 1 - 2 i^{5}$ ，则z的虚部是（）

A、-2 B、 $- 2 i$ C、2 D、 $2 i$

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2. 某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：

射击次数

50

100

200

400

1000

射中8环以上的次数

44

78

158

320

800

根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（）

A、0.78 B、0.79 C、0.80 D、0.82

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3. 若复数 $z$ 满足 $\bar{z} i = - 3 + 4 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $3 - 4 i$ B、 $4 - 3 i$ C、 $3 + 4 i$ D、 $4 + 3 i$

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且向量 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $(λ + 1) \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，则实数 $λ$ 的值为（）

A、-2或-1 B、-2或1 C、-1或2 D、1或2

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5. 一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件的是（）

A、3个都是白球 B、3个都是红球 C、至少1个红球 D、至多2个白球

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6. 设m ， n是两条不同的直线，a ， b是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ B、若 $α \cap β = m$ ， $n \subset β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m / / n$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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7. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $a = 3$ ， $c = \sqrt{13}$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ ，则 $\frac{\sin A}{\sin B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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8. 古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱内切球的体积是圆柱体积的 $\frac{2}{3}$ ，且球的表面积也是圆柱表面积的 $\frac{2}{3}$ .已知表面积为 $18π$ 的圆柱的轴截面为正方形，则该圆柱内切球表面积与圆柱的体积之比为（）

A、 $2 ： 3 \sqrt{3}$ B、 $2 ： \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{10} ： 3$ D、 $4 \sqrt{2} ： 3$

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二、多选题

9. 某校举行“永远跟党走、唱响青春梦”歌唱比赛.在歌唱比赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.根据两个评委小组（记为小组 $A$ ，小组 $B$ ）对同一名选手打分的分值绘制成折线图，如图，则（）

A、小组A打分的分值的众数为47 B、小组B打分的分值第80百分位数为69 C、小组A更像是由专业人士组成 D、小组B打分的分值的均值小于小组A打分的分值的均值

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10. 设A，B为两个随机事件，且 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则A，B相互独立 B、若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 C、若A和B互斥，则A和B一定相互独立 D、 $P (A B) < P (A \bar{B} + \bar{A} B)$

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11. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P是 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，则（）

A、直线 $D P$ 与 $B C_{1}$ 是异面直线 B、 $C P / /$ 平面 $A_{1} B D$ C、 $A_{1} P + P B$ 的最小值是2 D、当P与 $B_{1}$ 重合时，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的外接球半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 点O ， H分别为 $△ A B C$ 的外心，垂心，点D ， M在平面 $A B C$ 内，则下列命题正确的是（）

A、若 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ，且 $| \vec{B C} | = 2 | \vec{A B} |$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{B O}$ B、若 $\vec{A D} = λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |})$ ，且 $\vec{A D} = μ \vec{A B} + (1 - μ) \vec{A C}$ ，则 $\vec{B D} = \vec{D C}$ C、若 $\vec{M A} + 2 \vec{M B} + 3 \vec{M C} = \vec{0}$ ，则 $△ A B C$ 的面积与 $△ A M B$ 的面积之比为2：1 D、若 $\vec{H A} + 2 \vec{H B} + 3 \vec{H C} = \vec{0}$ ，则 $\cos ∠ A H B = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

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三、填空题

13. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家.为了掌握各类超市的营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取小型超市家.

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14. 已知4件产品中恰有2件一等品，从中任取2件，恰有1件一等品的概率为.

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15. $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在 $A C$ ， $B C$ 上，且 $A M = C M$ ， $B N = 2 N C$ ， $A N$ ， $B M$ 相交于点 $P$ ，则 $\cos ∠ M P N =$ .

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16. 如图，一块斜边长为 $40cm$ 的直角三角尺，其中一个内角为 $60^{\circ}$ ，把该角立在桌面上，使得斜边所在的直线与桌面所在的平面所成的角为 $45^{\circ}$ ，再绕其斜边旋转，则直角顶点到桌面距离的最大值为 $cm$ .

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) = - 3$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 的值.

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18. 如图，平面 $A C E F ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A F ⊥ A C$ ， $A F / / C E$ ， $A F = \frac{2}{3} C E$ ， $B D = 2 D E$ .

(1)、求证： $D F / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求证： $D F ⊥ C E$ .

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19. 在① $\vec{m} = (\cos A ， \cos B)$ ， $\vec{n} = (b - 2 c ， a)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，② $a \cos A + a \cos (B - C) = 2 \sqrt{3} b \cos A \sin C$ ，③ ${(\sin B - \sin C)}^{2} = \sin^{2} A - \sin B \sin C$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题： $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且______.

(1)、求A的值；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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20. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.

(1)、若选择方案一，求甲获胜的概率；

(2)、用掷硬币的方式决定比赛方案，掷3枚硬币，若恰有2枚正面朝上，则选择方案一，否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由.

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21. 如图1， $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ，D ， E分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点.把 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折至 $△ P D E$ 的位置， $P \notin$ 平面 $B C E D$ ，连接 $P B$ ， $P C$ ，F为线段 $P B$ 的中点，如图2.

(1)、求证： $D F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、当三棱锥 $P - B D E$ 的体积为 $\frac{1}{2}$ 时，求直线 $B D$ 与 $P C$ 所成角的正切值.

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22. 为进一步推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识大宣传活动.该市年龄100岁及以下的居民人口约为300万人，从0岁到100岁的居民年龄频率分布直方图如图所示，其分组区间为：

[0 ， 20)

，

[20 ， 40)

，

[40 ， 60)

，

[60 ， 80)

，

[80 ， 100]

.为了解防骗知识宣传的效果，随机调查了100名该市年龄100岁及以下居民对防骗知识的知晓情况，调查的知晓率（被调查的人群中，知晓的人数和总人数的比率）如表所示.

年龄段	$[0 ， 20)$	$[20 ， 40)$	$[40 ， 60)$	$[60 ， 80)$	$[80 ， 100]$
知晓率（%）	34	45	54	65	74

(1)、根据频率分布直方图，估计该市年龄100岁及以下居民的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、利用样本估计总体的思想，估计该市年龄100岁及以下居民对防骗知识的知晓率；

(3)、根据《中国电信网络诈骗分析报告》显示，老年人（年龄60岁及以上）为易受骗人群，但调查中发现年龄在

[60 ， 100]

的人群比年龄在

[0 ， 60)

的人群对防骗知识的知晓率高.请从统计学的角度分析调查结果与实际情况产生差异的原因（至少写出两点）.

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射击次数	50	100	200	400	1000
射中8环以上的次数	44	78	158	320	800