北京市昌平区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $\frac{i}{1 + i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. $\sin \frac{23 π}{6} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知角 $α$ 终边经过点 $P (- 3 ， y)$ ，且 $\tan α = \frac{4}{3}$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\pm \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\pm \frac{4}{5}$

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4. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 1$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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5. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $ω$ ， $φ$ 分别是（）

A、 $ω = 1$ ， $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $ω = 2$ ， $φ = \frac{π}{6}$ C、 $ω = 1$ ， $φ = - \frac{π}{3}$ D、 $ω = 2$ ， $φ = \frac{π}{3}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，若 $a^{2} + c^{2} = b^{2} - \sqrt{3} a c$ ，则 $∠ B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 要得到函数 $y = 3 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象，只需将函数 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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8. 已知正四棱锥的侧棱长为2，高为 $\sqrt{2}$ .则该正四棱锥的表面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 + 4 \sqrt{3}$ C、 $4 + 4 \sqrt{3}$ D、 $4 + 8 \sqrt{3}$

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9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{C D}$ ， $\overset{⌢}{E F}$ ， $\overset{⌢}{G H}$ 是单位圆上的四段弧（如图），点 $P$ 在其中一段上，角 $α$ 是以 $O x$ 为始边， $O P$ 为终边.则“点 $P$ 在 $\overset{⌢}{C D}$ 上”是“ $\tan α > \sin α > \cos α$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点， $O$ 为底面 $A B C D$ 的中心，点 $P$ 在正方体的表面上运动，且满足 $N P ⊥ M O$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $P$ 可以是棱 $B B_{1}$ 的中点 B、线段 $N P$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、点 $P$ 的轨迹是平行四边形 D、点 $P$ 轨迹的长度为 $1 + \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 函数 $y = 3 \tan (x - \frac{π}{4})$ 的定义域是.

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12. 已知 $l$ 是平面 $β$ 外的一条直线.给出下列三个论断：
① $α ⊥ β$ ；② $l ⊥ α$ ；③ $l / / β$ .

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

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13. 已知 $\sin α + 3 \cos α = 0$ ，则 $\sin 2 α + \cos^{2} α =$ .

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14. 设向量 $\vec{m} = (4 \cos \frac{x}{2} ， 0)$ ， $\vec{n} = (\sin \frac{x}{2} ， 1)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ ，值域为 $[- 1 ， 2]$ .给出下列四个结论：
① $\frac{π}{3}$ ； ② $\frac{5 π}{6}$ ； ③ $π$ ； ④ $\frac{7 π}{6}$ .

则 $b - a$ 的值可能是.（填上所有正确的结论的序号）

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15. 设 $a \in R$ ，复数 $z = (1 - i) (a - i)$ .若复数 $z$ 是纯虚数，则 $a =$ ；若复数 $z$ 在复平面内对应的点位于实轴上，则 $a =$ .

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16. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的大小为； $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ .

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三、解答题

17. 已知 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，且 $α$ 是第二象限角.
(Ⅰ)求 $\sin 2 α$ 及 $\tan 2 α$ 的值；

(Ⅱ)求 $\frac{\cos 2 α}{\sin (\frac{π}{4} - α)}$ 的值.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 2)$ .

(1)、求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ ；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值；

(3)、若 $| \vec{c} | = \sqrt{10}$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{c}) ⊥ \vec{c}$ ，求向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{c}$ 的夹角.

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19. 在 $△ A B C$ 中， $a = \frac{7}{3} c$ ， $\sin C = \frac{3 \sqrt{3}}{14}$ .再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(Ⅰ) $∠ A$ 的大小；

(Ⅱ) $\cos B$ 和 $b$ 的值.

条件①： $b - a = 1$ ；

条件②： $c \cos A = - \frac{3}{2}$ .

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

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20. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $E$ 为 $A A_{1}$ 上一点， $A B = A D = A E = 1$ ， $C D = 2$ .

（Ⅰ）求证： $B E ⊥ A D$ ；

（Ⅱ）求证： $B E / /$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ；

（Ⅲ）设平面 $E B C$ 与棱 $D D_{1}$ 交于点 $F$ ，确定点 $F$ 的位置，并求出线段 $D F$ 的长度.

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21. 已知函数 $f (x) = \sin \frac{ω x}{2} \cos \frac{ω x}{2} + \sqrt{3} \cos^{2} \frac{ω x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} (ω > 0)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上恒成立，求实数 $ω$ 的取值范围；

(3)、若 $ω = 1$ ， $g (x) = 10 f (x - \frac{π}{3}) - 8$ ，证明：存在无穷多个互不相同的正整数 $x_{0}$ ，使得 $g (x_{0}) > 0$ .

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