安徽省宣城市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{7 + i}{3 - i} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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2. 某学校有学生2500人，其中女生1000人，为了了解学生周末的学习时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为 $n$ 的样本，若样本中男生恰有30人，则 $n$ 的值为（）

A、30 B、50 C、70 D、80

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3. 已知点 $A (1 ， 3) ， B (4 ， - 1)$ ，则与 $\vec{A B}$ 方向相同的单位向量是（）

A、 $(\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ B、 $(- \frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ C、 $(\frac{4}{5} ， - \frac{3}{5})$ D、 $(- \frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$

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4. 已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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5. 一个盒子装有3个黑球，2个红球，从中摸出3个球，记事件 $A =$ “至少有1个红球”，事件 $B =$ “全是黑球”，则下列说法正确的是（）

A、事件 $B \subseteq$ 事件 $A$ B、事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥但不对立 C、事件 $A$ 与事件 $B$ 是对立事件 D、事件 $A$ 与事件 $B$ 不互斥

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6. 在 $△ A B C$ 中， $A = 60^{\circ} ， a = \sqrt{6} ， b = 2$ ，满足条件的三角形的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、无数多

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7. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 1) ， \vec{b} = (2 ， 0)$ ，若向量 $m \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - n \vec{b}$ 共线，则 $m n =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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8. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{5}{12}$

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9. 已知正四面体 $A B C D$ 中， $E ､ F$ 分别为 $A B ､ C D$ 的中点，则异面直线 $E F$ 与 $B C$ 所成的角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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10. 我国古代数学名著《九章算术》将正四棱锥称为方锥.已知半径为 $R$ 的半球内有一个方锥，方锥的所有顶点都在半球的球面上，方锥的底面与半球的底面重合.若方锥的体积为 $\frac{128}{3}$ ，则半球体的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $32 π$ C、 $48 π$ D、 $64 π$

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11. $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $D ､ E$ 分别是 $A B ､ A C$ 上的两点，且 $\vec{A D} = \vec{D B}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ，则 $\vec{D E}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上的投影向量的长度为（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{21}{22}$

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12. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $B C ⊥ C D ， A E ⊥ C D$ ，且 $E$ 为 $C D$ 的中点， $M ､ N$ 分别是 $A D ､ B E$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，则下列说法正确的个数是（）

①不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有 $M N / /$ 平面 $C D E$

②不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有 $M N ⊥ A E$

③不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有 $M N / / A B$

④在折起过程中，一定存在某个位置，使 $C E ⊥ A D$

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (- 2 ， 3)$ ，若 $3 \vec{a} - 2 \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $| \vec{c} | =$ .

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14. 若一组数据 $m ， n ， 10 ， 9 ， 11$ 的平均数为10，方差为2，则 $| m - n | =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $\frac{sin A}{sin C} = 2 ， cos B = \frac{1}{4}$ ，且 $△ A B C$ 的周长为5，则 $b =$ .

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16. 如图所示，一坚立在地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 $P$ 出发，绕圆锥爬行一周后回到点 $P$ 处，若该小虫爬行的最短路程为 $2 \sqrt{3}$ ，则这个圆锥的体积为.

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三、解答题

17. 已知复数 $1 - i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - p x + q = 0 (p ， q \in R)$ 的一个根，复数 $z_{1} = p - q i$ .

(1)、求复数 $z_{1}$ ；

(2)、将复数 $z_{1}$ 所对应的向量 $\vec{O Z_{1}}$ 以坐标原点为中心按逆时针旋转 $180^{\circ}$ 得到对应的复数 $z_{2}$ ，求 $z_{1} \cdot \bar{z_{2}}$ 的值.

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18. 3月12日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取200人的成绩(满分为100分)作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组区间为 $[40 ， 50) ， [50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100] .$

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的平均分；

(2)、在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看他们的答题情况，再从这6人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在[60，70)内的概率.

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19. 在 $△ A B C$ 中， $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，向量 $\vec{m} = (a ， b - 2 c) ， \vec{n} = (cos B ， cos A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径为2，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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20. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D ､ E$ 分别是 $A B ､ B B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} C D$ ；

(2)、设 $A A_{1} = A C = C B = 4$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ，求三棱锥 $E - A_{1} C D$ 的体积.

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21. 如图，一座山其高 $A D$ 为 $100m$ ，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线从 $B$ 往 $C$ 匀速行驶，在 $B$ 处测得山顶 $A$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，经过 $20 s$ 后汽车到达 $C$ 处，这时测得山顶 $A$ 的仰角为 $45^{\circ}$ ，且 $∠ B A C = 90^{\circ}$ .

(1)、求这辆汽车的速度；

(2)、若汽车从 $B$ 往 $C$ 行驶5秒时到达 $E$ 处，求此时山顶 $A$ 与汽车的距离 $A E$ .

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， A B = 2 ， P A = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 60^{\circ} ， E$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $A E ⊥ P D$ ；

(2)、若线段 $P D$ 上存在一点 $H$ 满足 $\vec{D H} = λ \vec{D P}$ ，使得 $E H ⊥ P D$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，求二面角 $H - D E - A$ 的正弦值.

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