安徽省合肥市六校联盟2020-2021学年高一下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-08-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $\frac{1 + a i}{2 - i} (a \in R)$ 为纯虚数，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、0

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ， $\vec{c} = (3 ， 4)$ .若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3. 下列说法正确的是（）

A、多面体至少有3个面 B、有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C、各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D、六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形

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4. 如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是（　　）

A、①④ B、②④ C、③④ D、②③

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5. 国际比赛足球的半径应该在10.8~11.3厘米之间，球的圆周不得多于71厘米或少于68厘米，球的重量，在比赛开始时不得多于453克或少于396克充气后其压力应等于0.6~1.1个大气压力（海平面上），即等于600~1100克/厘米，将一个表面积为 $484 π$ 平方厘米的足球用一个正方体盒子装起来，则这个正方体盒子的最小体积为（）

A、121立方厘米 B、484立方厘米 C、1331立方厘米 D、10648立方厘米

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6. 下列说法不正确的是（）

A、一个人打革时连续射击两次，事件“至少有一次中革”与事件“两次都不中革”互斥 B、掷一枚均匀的硬币，如果连续抛郑1000次，那么第999次出现正面向上的概率是 $\frac{1}{2}$ C、若样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{10}$ 的标准差为8，则数据 $2 x_{1} - 1 ， 2 x_{2} - 1 ， \dots ， 2 x_{10} - 1$ 的标准差为16 D、甲､乙两人对同一个靶各射击一次，记事件 $A =$ “甲中靶”， $B =$ "乙中靶”，则 $A + B =$ “恰有一人中靶”

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7. 已知 $α ， β$ 是两个不同平面， $m ， n$ 是两不同直线，下列命题中的假命题是（）

A、若 $m / / n ， m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ B、若 $m ⊥ α ， m \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m ⊥ α ， m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m / / α ， α \cap β = n$ ，则 $m / / n$

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8. 从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是 $2 ， 3 ， 4$ ”为事件 $A$ ，“向上的点数是 $1 ， 5$ ”为事件 $B$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 是对立事件 B、 $A$ 与 $B$ 是互斥事件 C、 $P (A \cup B) = 1$ D、 $P (A B) = \frac{5}{6}$

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10. 2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲､乙两个家庭，对他们过去6年(2014年到2019年)的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入(单位：百元/人)甲： $36 ， 37 ， 37 ， 38 ， 40 ， 42$ ；乙： $34 ， 36 ， 38 ， 39 ， 40 ， 41$ ．对甲､乙两个家庭的年人均纯收入(以下分别简称“甲”“乙”)情况的判断，正确的是（）

A、过去的6年，“甲”的极差大于“乙”的极差 B、过去的6年，“甲”的平均值大于“乙”的平均值 C、过去的6年，“甲”的中位数大于“乙”的中位数 D、过去的6年，“甲”的平均增长率大于“乙”的平均增长率

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11. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{E C} =$ （）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12. 如图，设 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $\sqrt{3} (a cos C + c cos A) = 2 b sin B$ ，且 $∠ C A B = \frac{π}{3} .$ 若点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点， $D C = 1 ， D A = 2$ ，则下列说法中错误的是（）

A、 $△ A B C$ 的内角 $B = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 的内角 $C = \frac{π}{3}$ C、四边形 $A B C D$ 面积无最大值 D、四边形 $A B C D$ 面积的最大值为 $\frac{5 \sqrt{3}}{4} + 2$

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二、填空题

13. $\frac{2 + i^{2021}}{i} =$ ．

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14. 已知 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = \sqrt{2} ， {\vec{a}}^{2} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角 $θ =$ ．

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15. 数据 $10 ， 10 ， 9 ， 7 ， 6 ， 5 ， 4 ， 3 ， 2 ， 2$ 的第80百分位数是．

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16. 如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法：

①该八面体的体积为 $\frac{8}{3}$ ；②该八面体的外接球的表面积为8π；

③E到平面ADF的距离为 $\sqrt{3}$ ；④EC与BF所成角为60°.

其中正确的说法为.（填序号）

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三、解答题

17. 在① $a^{2} + c^{2} - b^{2} = a c$ ，② $c cos A + a cos C = 2 b cos B$ ，③ $\sqrt{3} a sin B + b cos A = a + c$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， sin A = 2 sin C ， b = 2$ ，且 ▲ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点P为棱 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $B D_{1} / /$ 平面PAC；

(2)、求异面直线 $B D_{1}$ 与AP所成角的大小.

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19. 某校高二（9）班决定从a，b，c三名男生和d，e两名女生中随机选3名进入学生会．

(1)、求“女生d被选中”的概率；

(2)、求“男生a和女生e恰好有一人被选中”的概率．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，点 $E$ 是底面 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一点， $P E = 2 \sqrt{2}$ ， $Δ P C D$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形， $D E = C E = B E$ ， $∠ C E D = 120 °$ .

(1)、证明： $P E ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(2)、若四边形 $A B E D$ 为平行四边形，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， D C = \frac{3}{2} ， cos A = \frac{4}{5} ， C B$ 的垂直平分线交边 $A C$ 于点 $D$ ．

(1)、求 $A D$ 的长；

(2)、若 $A D > A B$ ，求 $sin ∠ A C B$ 的值．

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22. 某市供水管理部门随机抽取了2021年2月份200户居民的用水量，经过整理得到如下的频率分布直方图．

(1)、求抽取的200户居民用水量的平均数；

(2)、为了进一步了解用水量在 $[6 ， 8) ， [8 ， 10) ， [10 ， 12)$ ，范围内的居民用水实际情况，决定用分层抽样的方法抽取6户进行电话采访．
①各个范围各应抽取多少户？

②若从抽取的6户中随机抽取3户进行人户调查，求3户分别来自3个不同范围的概率．

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