山东省烟台市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-08-12 类型：中考真卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若x的相反数是3，则x的值是（）

A、-3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、3 D、±3

查看试题解析
2. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 $a^{2} \div a^{3} = a$

查看试题解析
4. 一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，5500万用科学记数法表示为（）

A、 $0.55 \times 10^{8}$ B、 $5.5 \times 10^{7}$ C、 $55 \times 10^{9}$ D、 $5.5 \times 10^{3}$

查看试题解析
6. 一副三角板如图就置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中 $∠ α$ 的度数为（）

A、45° B、60° C、75° D、85°

查看试题解析
7. 如图，在直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点A ， B ， C在坐标轴上，若点B的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ， $∠ B C D = 120 °$ ，则点D的坐标为（）

A、 $(2 ， 2)$ B、 $(\sqrt{3} ， 2)$ C、 $(3 ， \sqrt{3})$ D、 $(2 ， \sqrt{3})$

查看试题解析
8. 如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；

按键的结果为n；

按键的结果为k．

下列判断正确的是（）

A、 $m = n$ B、 $n = k$ C、 $m = k$ D、 $m = n = k$

查看试题解析
9. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - m n x + m + n = 0$ ，其中m ， n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

查看试题解析
10. 连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
11. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C ．下列结论：
① $a c > 0$ ；②当 $x > 0$ 时，y随x的增大而增大；③ $3 a + c = 0$ ；④ $a + b \geq a m^{2} + b m$ ．

其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
12. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示， $∠ A O B = ∠ B O C = \dots = ∠ L O M = 30 °$ ．若 $O A = 16$ ，则 $O G$ 的长为（）

A、 $\frac{27}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{27 \sqrt{3}}{8}$

查看试题解析

二、填空题

13. 若 $\sqrt{2 - x}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围为．

查看试题解析
14. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆 $A B$ ，从木杆的顶端B观察井水水岸D ，视线 $B D$ 与井口的直径 $A C$ 交于点E ，如果测得 $A B = 1$ 米， $A C = 1.6$ 米， $A E = 0.4$ 米，那么 $C D$ 为米．

查看试题解析
15. 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为．

查看试题解析
16. 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为米．（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

查看试题解析
17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点A ， B ， O在网格线的交点上，则 $\sin ∠ A C B$ 的值是．

查看试题解析
18. 综合实践活动课上，小亮将一张面积为 $24 {cm}^{2}$ ，其中一边 $B C$ 为8cm的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形 $B C D E$ （如图2），则矩形的周长为cm．

查看试题解析

三、解答题

19. 先化简，再求值： $(\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1} - \frac{3}{x - 1}) \div \frac{2 - x}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，从 $- 2 < x \leq 2$ 中选出合适的x的整数值代入求值．

查看试题解析

20. 2021年是中国共产党成立100周年，为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：

甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：

87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．

乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：

77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．

(1)、按如下分数段整理两班测试成绩

班级	70.5~75.5	75.5~80.5	80.5~85.5	85.5~90.5	90.5~95.5	95.5~100.5
甲	1	2	a	5	1	2
乙	0	3	3	6	2	1

表中 $a =$ ；

(2)、补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；

(3)、两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：

班级	平均数	众数	中位数	方差
甲	86	$x$	86	44.8
乙	86	88	y	36.7

表中 $x =$ ， $y =$ ．

(4)、以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是班；

(5)、本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．

查看试题解析

21. 如图，正比例函数 $y = \frac{1}{2} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点A ，过点A作 $A B ⊥ y$ 轴于点B ， $O B = 4$ ，点C在线段 $A B$ 上，且 $A C = O C$ ．

(1)、求k的值及线段 $B C$ 的长；

(2)、点P为B点上方y轴上一点，当 $△ P O C$ 与 $△ P A C$ 的面积相等时，请求出点P的坐标．

查看试题解析
22. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．

(1)、若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

(2)、小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

查看试题解析
23. 如图，已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
① $∠ B A C$ 的角平分线 $A D$ ，交 $B C$ 于点D；

②作线段 $A D$ 的垂直平分线 $E F$ 与 $A B$ 相交于点O；

③以点O为圆心，以 $O D$ 长为半径画圆，交边 $A B$ 于点M．

(2)、在（1）的条件下求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、若 $A M = 4 B M$ ， $A C = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

查看试题解析
24. 有公共顶点A的正方形 $A B C D$ 与正方形 $A E G F$ 按如图1所示放置，点E ， F分别在边 $A B$ 和 $A D$ 上，连接 $B F$ ， $D E$ ，M是 $B F$ 的中点，连接 $A M$ 交 $D E$ 于点N．

(1)、（观察猜想）
线段 $D E$ 与 $A M$ 之间的数量关系是，位置关系是；

(2)、（探究证明）
将图1中的正方形 $A E G F$ 绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边 $A B$ 上，如图2，其他条件不变，线段 $D E$ 与 $A M$ 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

查看试题解析
25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与y轴正半轴交于点C ，且 $O C = 2 O A$ ．抛物线的顶点为D ，对称轴交x轴于点E．直线 $y = m x + n$ 经过B ， C两点．

(1)、求抛物线及直线 $B C$ 的函数表达式；

(2)、点F是抛物线对称轴上一点，当 $F A + F C$ 的值最小时，求出点F的坐标及 $F A + F C$ 的最小值；

(3)、连接 $A C$ ，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线 $B C$ 上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的 $R t △ P E Q$ ，且满足 $\tan ∠ E Q P = \tan ∠ O C A$ ．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

查看试题解析