山东省威海市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-08-12 类型：中考真卷

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一、单选题

1. ﹣ $\frac{1}{5}$ 的相反数是（）

A、﹣5 B、5 C、﹣ $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2. 据光明日报网，中国科学技术大学的潘建伟、陆朝阳等人构建了一台76个光子100个模式的量子计算机“九章”．它处理“高斯玻色取样”的速度比目前最快的超级计算机“富岳”快一百万亿倍．也就是说，超级计算机需要一亿年完成的任务，“九章”只需一分钟．其中一百万亿用科学记数法表示为（）

A、 $10 \times 10^{12}$ B、 $10 \times 10^{14}$ C、 $1 \times 10^{14}$ D、 $1 \times 10^{15}$

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3. 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36 $°$ 18＇，按键顺序正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- 3 a^{2})}^{3} = - 9 a^{6}$ B、 ${(- a)}^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 ${(2 x - y)}^{2} = 4 x^{2} - y^{2}$ D、 $a^{2} + 4 a^{2} = 5 a^{4}$

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5. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成的．其左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡时间，统计结果如表：

时间/小时

7

8

9

10

人数

6

9

11

4

这些学生睡眠时间的众数、中位数是（）

A、众数是11，中位数是8.5 B、众数是9，中位数是8.5 C、众数是9，中位数是9 D、众数是10，中位数是9

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7. 解不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{3 x - 1}{2} - 1 < 2 x ① \\ x - 3 (2 x - 1) \geq 8 ② \end{array}$ 时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球除数字不同外其它均相同．从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为（）

A、 $\frac{6}{25}$ B、 $\frac{9}{25}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

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9. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 3$ ， $C D = 2$ ．连接AC ，过点B作 $B E // A C$ ，交DC的延长线于点E ，连接AE ，交BC于点F ．若 $∠ A F C = 2 ∠ D$ ，则四边形ABEC的面积为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、6 D、 $2 \sqrt{13}$

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10. 一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b (k_{1} \neq 0)$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的图象交于点 $A (- 1 ， - 2)$ ，点 $B (2 ， 1)$ ．当 $y_{1} < y_{2}$ 时，x的取值范围是（）

A、 $x < - 1$ B、 $- 1 < x < 0$ 或 $x > 2$ C、 $0 < x < 2$ D、 $0 < x < 2$ 或 $x < - 1$

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11. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ C A B = ∠ D A E = 36 °$ ， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ．连接CD ，连接BE并延长交AC ， AD于点F ， G ．若BE恰好平分 $∠ A B C$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $∠ A D C = ∠ A E B$ B、 $C D // A B$ C、 $D E = G E$ D、 $B F^{2} = C F \cdot A C$

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12. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 2 cm$ ， $∠ D = 60 °$ ，点P ， Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s）， $△ A P Q$ 的面积为y（cm²），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 计算 $\sqrt{24} - \sqrt{\frac{6}{5}} \times \sqrt{45}$ 的结果是．

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14. 分解因式： $2 x^{3} - 18 x y^{2} =$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C > 90 °$ ，分别以点A ， B为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，两弧交于点D ， E ．作直线DE ，交BC于点M ．分别以点A ， C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径画弧，两弧交于点F ， G ．作直线FG ，交BC于点N ．连接AM ， AN ．若 $∠ B A C = α$ ，则 $∠ M A N =$ ．

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16. 已知点A为直线y=-2x上一点，过点A作 $A B // x$ 轴，交双曲线 $y = \frac{4}{x}$ 于点B ．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为．

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17. 如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH ．若 $∠ A E F = α$ ，纸片宽 $A B = 2 cm$ ，则HE＝cm．

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18. 如图，在正方形ABCD中， $A B = 2$ ，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G ，连接BG ．若 $A E = B F$ ，则BG的最小值为．

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三、解答题

19. 先化简 $(\frac{a^{2} - 1}{a - 3} - a - 1) \div \frac{a + 1}{a^{2} - 6 a + 9}$ ，然后从 $- 1$ ，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．

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20. 某校为提高学生的综合素养，准备开展摄影、书法、绘画、表演、手工五类社团活动．为了对此项活动进行统筹安排，随机抽取了部分学生进行调查，要求每人从五个类别中只选择一个，将调查结果绘制成了两幅统计图（未完成）．请根据统计图中的信息，解答下列问题：

(1)、本次共调查了名学生；

(2)、请将条形统计图补充完整；

(3)、扇形统计图中，“摄影”所占的百分比为；“手工”所对应的圆心角的度数为．

(4)、若该校共有2700名学生，请估计选择“绘画”的学生人数．

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21. 六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．

(1)、求第一次每件的进价为多少元？

(2)、若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？

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22. 在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为 $10 °$ ，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为 $27 °$ ．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据： $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\tan 10 ° \approx 0.18$ ， $\sin 27 ° = 0.45$ ， $\cos 27 ° \approx 0 .89$ ， $\tan 27 ° \approx 0.51$ ）

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23. 如图，AB是 $⊙ O$ 直径，弦 $C D ⊥ A B$ ，垂足为点E ．弦BF交CD于点G ，点P在CD延长线上，且 $P F = P G$ ．

(1)、求证：PF为 $⊙ O$ 切线；

(2)、若 $O B = 10$ ， $B F = 16$ ， $B E = 8$ ，求PF的长．

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + 2 m x + 2 m^{2} - m$ 的顶点为A ．

(1)、求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；

(2)、若点 $B (2 ， y_{B})$ ， $C (5 ， y_{C})$ 在抛物线上，且 $y_{B} > y_{C}$ ，则m的取值范围是；（直接写出结果即可）

(3)、当 $1 \leq x \leq 3$ 时，函数y的最小值等于6，求m的值．

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25. 如图

(1)、已知 $△ A B C$ ， $△ A D E$ 如图①摆放，点B ， C ， D在同一条直线上， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $∠ A B C = ∠ A D E = 45 °$ ．连接BE ，过点A作 $A F ⊥ B D$ ，垂足为点F ，直线AF交BE于点G ．求证： $B G = E G$ ．

(2)、已知 $△ A B C$ ， $△ A D E$ 如图②摆放， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $∠ A C B = ∠ A D E = 30 °$ ．连接BE ， CD ，过点A作 $A F ⊥ B E$ ，垂足为点F ，直线AF交CD于点G ．求 $\frac{D G}{C G}$ 的值．

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时间/小时	7	8	9	10
人数	6	9	11	4