辽宁省阜新市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-08-12 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 计算： $3 + (- 1)$ ，其结果等于（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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2. 一个几何体如图所示，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这15个参赛班级成绩的（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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4. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 - 2 x \leq 4 \\ x + 1 > 3 \end{array}$ 的解集，在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 都在反比例函数 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象上，且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} + y_{2} = 0$ D、 $y_{1} - y_{2} = 0$

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6. 小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 如图，A ， B ， C是⊙O上的三点，若 $∠ O = 70 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、40° B、35° C、30° D、25°

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8. 在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x ，根据题意，所列方程正确的是（）

A、 $100 {(1 + x)}^{2} = 121$ B、 $100 \times 2 (1 + x) = 121$ C、 $100 (1 + 2 x) = 121$ D、 $100 (1 + x) + 100 {(1 + x)}^{2} = 121$

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9. 如图，二次函数 $y = a {(x + 2)}^{2} + k$ 的图象与x轴交于A ， $B (- 1 ， 0)$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、点A的坐标为 $(- 4 ， 0)$ C、当 $x < 0$ 时，y随x的增大而减小 D、图象的对称轴为直线 $x = - 2$

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10. 如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在 $(0 ， 2)$ ．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为 $2021 π$ 时，圆心的横坐标是（）

A、 $2020 π$ B、 $1010 π + 2020$ C、 $2021 π$ D、 $1011 π + 2020$

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{9} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} =$ .

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12. 如图，直线 $A B / / C D$ ，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分 $∠ C E F$ ，则 $∠ 1$ 的度数为°．

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13. 如图，已知每个小方格的边长均为1，则 $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 的周长比为．

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14. 如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为 m（结果精确到1m， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）．

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15. 如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知 $A B = 6$ ， $B C = 10$ ．当折痕GH最长时，线段BH的长为．

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16. 育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了 $\frac{2}{3} h$ 第一次返回到自己班级，则七（2）班需要 h才能追上七（1）班．

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $(1 + \frac{1 - x}{x + 1}) \div \frac{2 x - 2}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ．

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18. 下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．

(1)、三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G ， G关于y轴的对称图形为 $G_{1}$ ，关于 $x$ 轴的对称图形为 $G_{2}$ ．则将图形 $G_{1}$ 绕点顺时针旋转度，可以得到图形 $G_{2}$ ．

(2)、在图2中分别画出G关于y轴和直线 $y = x + 1$ 的对称图形 $G_{1}$ ， $G_{2}$ ．将图形 $G_{1}$ 绕点（用坐标表示）顺时针旋转度，可以得到图形 $G_{2}$ ．

(3)、综上，如图3，直线 $l_{1} ： y = - 2 x + 2$ 和 $l_{2} ： y = x$ 所夹锐角为 $α$ ，如果图形G关于直线 $l_{1}$ 的对称图形为 $G_{1}$ ，关于直线 $l_{2}$ 的对称图形为 $G_{2}$ ，那么将图形 $G_{1}$ 绕点（用坐标表示）顺时针旋转度（用 $α$ 表示），可以得到图形 $G_{2}$ ．

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19. 育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：

(1)、参与这次学校调查的学生家长共人；

(2)、通过计算将条形统计图补充完整；

(3)、若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有多少人？

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20. 为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．

(1)、求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？

(2)、已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？

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21. 在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E ， F分别是直线AB ， BC上的点（E ， F在直线AC的两侧），且 $A E = C F$ ．

(1)、如图2，求证： $D E = D F$ ；

(2)、若直线AC与EF相交于点G ，如图3，求证： $D G ⊥ E F$ ；

(3)、设正方形ABCD的中心为O ， $∠ C F E = α$ ，用含 $α$ 的式子表示 $∠ D G O$ 的度数（不必证明）．

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22. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 交x轴于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，过点B的直线 $y = \frac{2}{3} x - 2$ 交抛物线于点C．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B ， C重合），求 $△ P B C$ 面积的最大值；

(3)、若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON ，是否存在点M ，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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