黑龙江省绥化市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-08-12 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 现实世界中，对称无处不在．在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次．把704000000这个数用科学记数法表示为（）

A、 $7.04 \times 10^{7}$ B、 $7.04 \times 10^{9}$ C、 $0.704 \times 10^{9}$ D、 $7.04 \times 10^{8}$

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3. 如图是由7个相同的小正方体组合而成的几何体.这个几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若式子 $\frac{x^{0}}{\sqrt{x + 1}}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > - 1$ B、 $x \geq - 1$ 且 $x \neq 0$ C、 $x > - 1$ 且 $x \neq 0$ D、 $x \neq 0$

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5. 定义一种新的运算：如果 $a \neq 0$ ．则有 $a ▲ b = a^{- 2} + a b + | - b |$ ，那么 $(- \frac{1}{2}) ▲ 2$ 的值是（）

A、-3 B、5 C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6. 下列命题是假命题的是（）

A、任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边 B、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

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7. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{5})}^{2} = a^{7}$ B、 $x^{4} \cdot x^{4} = x^{8}$ C、 $\sqrt{9} = \pm 3$ D、 $\sqrt[3]{- 27} - \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$

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8. 已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）

A、八边形 B、九边形 C、十边形 D、十二边形

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9. 近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月

A ， B

两种移动支付方式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中

A 、 B

两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用

A

种支付方式和仅使用

B

种支付方式的员工支付金额

a

（元）分布情况如下表：

支付金额 $a$ （元）	$0 < a \leq 1000$	$1000 < a \leq 2000$	$a > 2000$
仅使用 $A$	36人	18人	6人
仅使用 $B$	20人	28人	2人

下面有四个推断：

①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用 $A ， B$ 两种支付方式的为800人；②本次调查抽取的样本容量为200人；③样本中仅使用 $A$ 种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；④样本中仅使用 $B$ 种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．其中正确的是（）

A、①③ B、③④ C、①② D、②④

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10. 根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品?设原计划平均每天可生产 $x$ 箱药品，则下面所列方程正确的是（）

A、 $\frac{6000}{x} = \frac{4500}{x + 500}$ B、 $\frac{6000}{x - 500} = \frac{4500}{x}$ C、 $\frac{6000}{x} = \frac{4500}{x - 500}$ D、 $\frac{6000}{x + 500} = \frac{4500}{x}$

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11. 已知在 $R t △ A C B$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ A B C = 75 °$ ， $A B = 5$ ．点 $E$ 为边 $A C$ 上的动点，点 $F$ 为边 $A B$ 上的动点，则线段 $F E + E B$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 如图所示，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 6$ ，点 $E 、 F$ 分别是矩形的边 $A D 、 B C$ 上的动点，将该纸片沿直线 $E F$ 折叠．使点 $B$ 落在矩形边 $A D$ 上，对应点记为点 $G$ ，点 $A$ 落在 $M$ 处，连接 $E F 、 B G 、 B E ， E F$ 与 $B G$ 交于点 $N$ ．则下列结论成立的是（）
① $B N = A B$ ；②当点 $G$ 与点 $D$ 重合时 $E F = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ ；③ $△ G N F$ 的面积 $S$ 的取值范围是 $\frac{9}{4} \leq S \leq \frac{7}{2}$ ；④当 $C F = \frac{5}{2}$ 时， $S_{△ M E G} = \frac{3 \sqrt{13}}{4}$ ．

A、①③ B、③④ C、②③ D、②④

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二、填空题

13. 在单词 $m a t h e m a t i c s$ （数学）中任意选择一个字母恰好是字母“ $t$ ”的概率是．

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14. 在实数范围内分解因式： $a b^{2} - 2 a =$ ．

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15. 一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 cm．

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16. 当 $x = \sqrt{2021} + 3$ 时，代数式 $(\frac{x + 3}{x^{2} - 3 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 6 x + 9}) \div \frac{x - 9}{x}$ 的值是．

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17. 某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个 $A$ 种奖品和4个 $B$ 种奖品共需100元；购买5个 $A$ 种奖品和2个 $B$ 种奖品共需130元．学校准备购买 $A ， B$ 两种奖品共20个，且 $A$ 种奖品的数量不小于 $B$ 种奖品数量的 $\frac{2}{5}$ ，则在购买方案中最少费用是元．

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18. 已知 $m ， n$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ．

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19. 边长为 $4cm$ 的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是．

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20. 如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $M N$ 垂直于 $x$ 轴，以 $M N$ 为对称轴作 $△ O D E$ 的轴对称图形，对称轴 $M N$ 与线段 $D E$ 相交于点 $F$ ，点 $D$ 的对应点 $B$ 恰好落在 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x < 0)$ 的双曲线上．点 $O 、 E$ 的对应点分别是点 $C 、 A$ ．若点 $A$ 为 $O E$ 的中点，且 $S_{△ A E F} = 1$ ，则 $k$ 的值为．

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21. 在边长为4的正方形 $A B C D$ 中，连接对角线 $A C 、 B D$ ，点 $P$ 是正方形边上或对角线上的一点，若 $P B = 3 P C$ ，则 $P C =$ ．

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22. 下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第 $n$ 个图形中三角形个数是．

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三、解答题

23.

(1)、如图，已知 $△ A B C ， P$ 为边 $A B$ 上一点，请用尺规作图的方法在边 $A C$ 上求作一点 $E$ ．使 $A E + E P = A C$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、在上图中，如果 $A C = 6 cm ， A P = 3 cm$ ，则 $△ A P E$ 的周长是 $cm$ ．

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24. 如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点， $O$ 为平面直角坐标系的原点，矩形 $O A B C$ 的4个顶点均在格点上，连接对角线 $O B$ ．

⑴在平面直角坐标系内，以原点 $O$ 为位似中心，把 $△ O A B$ 缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与 $△ O A B$ 的相似比等于 $\frac{1}{2}$ ；

⑵将 $△ O A B$ 以 $O$ 为旋转中心，逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ O A_{1} B_{1}$ ，作出 $△ O A_{1} B_{1}$ ，并求出线段 $O B$ 旋转过程中所形成扇形的周长．

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25. 一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为 $△ A B C$ ，点 $B 、 C 、 D$ 在同一条直线上，测得 $∠ A C B = 90 ° ， ∠ A B C = 60 ° ， A B = 32 cm$ ， $∠ B D E = 75 °$ ，其中一段支撑杆 $C D = 84 cm$ ，另一段支撑杆 $D E = 70 cm$ ，求支撑杆上的点 $E$ 到水平地面的距离 $E F$ 是多少?（用四舍五入法对结果取整数，参考数据 $\sin 15 ° \approx 0.26 ， \cos 15 ° \approx 0.97 ， \tan 15 ° \approx 0.27 ， \sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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26. 小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息，已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行．第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离 $S$ （米）与小亮出发时间 $t$ （秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．

(1)、 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、求 $C D$ 和 $E F$ 所在直线的解析式；

(3)、直接写出 $t$ 为何值时，两人相距30米．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 相交于点 $D ， D E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若弦 $M N$ 垂直于 $A B$ ，垂足为 $G ， \frac{A G}{A B} = \frac{1}{4} ， M N = \sqrt{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(3)、在（2）的条件下，当 $∠ B A C = 36 °$ 时，求线段 $C E$ 的长．

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28. 如图所示，四边形 $A B C D$ 为正方形，在 $△ E C H$ 中， $∠ E C H = 90 ° ， C E = C H ， H E$ 的延长线与 $C D$ 的延长线交于点 $F$ ，点 $D 、 B 、 H$ 在同一条直线上．

(1)、求证： $△ C D E ≌ △ C B H$ ；

(2)、当 $\frac{H B}{H D} = \frac{1}{5}$ 时，求 $\frac{F D}{F C}$ 的值；

(3)、当 $H B = 3 ， H G = 4$ 时，求 $\sin ∠ C F E$ 的值．

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29. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 5 ， 0)$ ，点 $B (1 ， 0)$ ，（点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点，连接 $B D$ ．直线 $y = - \frac{1}{2} x - \frac{5}{2}$ 经过点 $A$ ，且与 $y$ 轴交于点 $E$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $N$ 是抛物线上的一点，当 $△ B D N$ 是以 $D N$ 为腰的等腰三角形时，求点 $N$ 的坐标；

(3)、点 $F$ 为线段 $A E$ 上的一点，点 $G$ 为线段 $O A$ 上的一点，连接 $F G$ ，并延长 $F G$ 与线段 $B D$ 交于点 $H$ （点 $H$ 在第一象限）．当 $∠ E F G = 3 ∠ B A E$ 且 $H G = 2 F G$ 时，求出点 $F$ 的坐标．

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