浙江省2021届高三高考数学压轴试卷

试卷更新日期：2021-08-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \leq 0$ 或 $x \geq 2}$ ， $B = {x | - 1 < x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- 1, 0]$ D、 $[0, 1)$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，则 $(1 + i) (1 - 2 i) =$ （）

A、 $3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\sin a > \sin b$ C、 ${(\frac{1}{3})}^{a} < {(\frac{1}{3})}^{b}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{\cos x + x^{2}}{e^{| x |}}$ 在 $[- 2 π ， 2 π]$ 上的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $m \in R$ ，则“ $1 \leq m \leq 2$ ”是“直线 $l : x + y - m = 0$ 和圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + m + 2 = 0$ 有公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知离散型随机变量 $X$ 的所有可能取值为0，1，2，3，且 $P (X \geq 1) = \frac{2}{3}$ ， $P (X = 3) = \frac{1}{6}$ ，若 $X$ 的数学期望 $E (X) = \frac{5}{4}$ ，则 $D (4 X - 3) =$ （）

A、19 B、16 C、 $\frac{19}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ， $F_{2} (2 ， 0)$ ， $P$ 为双曲线上位于第二象限内的一点，点 $Q$ 在 $y$ 轴上运动，若 $| P Q | + | Q F_{2} | - | P F_{1} |$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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8. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，是函数 $f (x) = \tan (ω x - φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的两个零点，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则 $φ$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{7 π}{8}$ D、 $\frac{π}{8}$

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $A D E F$ 成 $60 °$ 的二面角，将 $△ D E F$ 绕 $D E$ 旋转，在旋转过程中

⑴对任意位置，总有直线 $A C$ 与平面 $D E F$ 相交；

⑵对任意位置，平面 $D E F$ 与平面 $A B C D$ 所成角大于或等于 $60 °$ ；

⑶存在某个位置，使 $D F ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

⑷存在某个位置，使 $D F ⊥ B C$ .

其中正确的是（）.

A、（1）（3） B、（2）（3） C、（2）（4） D、（3）（4）

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} b x^{2} + c x$ 的导函数 $f' (x)$ 是偶函数，若方程 $f' (x) - \ln x = 0$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ (其中 $e$ 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数 $c$ 的取值范围是

A、 $[- 1 - \frac{1}{2 e^{2}} ， - \frac{1}{2}]$ B、 $[- 1 - \frac{1}{2 e^{2}} ， - \frac{1}{2})$ C、 $[1 - \frac{1}{2} e^{2} ， - \frac{1}{2})$ D、 $[1 - \frac{1}{2} e^{2} ， - \frac{1}{2}]$

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二、填空题

11. 已知二项展开式 ${(1 + x)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{9} x^{9}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ .(用数字作答)

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12. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y + 1 \geq 0 ， \\ 2 x - y - 4 \leq 0 ， \\ x + 3 y - 2 \leq 0 ， \end{array}$ 则点 $(x ， y)$ 表示的平面区域的面积为， $z = x + 2 y$ 的取值范围为．

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13. 已知某几何体是由一个三棱锥和一个四棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位： $cm$ ），则该几何体的体积为 ${cm}^{3}$ ，表面积为 ${cm}^{2}$ ．

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14. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $(S_{n + 2} + 3 S_{n}) - (3 S_{n + 1} + S_{n - 1}) = 2 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 6$ ， $a_{3} = 12$ ，则 $a_{n} =$ ；若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前2021项和为．

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15. 某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援，要求将这9名医护人员平均派往某地的 $A$ ， $B$ ， $C$ 3家医院，且每家医院至少要分到一名医生和一名护士，则不同的分配方案有种．（用数字作答）

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16. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ．若 $\vec{c} = λ \vec{a} + (1 - λ) \vec{b}$ ，且 $\vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b}$ ，则 $| \vec{c} |$ 的最大值为．

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17. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $(x + \frac{1}{x}) (y + \frac{1}{y}) \geq {(\frac{x + y}{2} + \frac{2}{x + y})}^{2}$ ，则 ${(x + y)}^{2}$ 的最大值是．

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三、解答题

18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $\cos B = \frac{3}{4}$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $A D = 4$ ， $∠ A D B$ 为锐角．

(1)、若 $A C = 6 \sqrt{2}$ ，求线段 $D C$ 的长度；

(2)、若 $∠ B A D = 2 ∠ D A C$ ，求 $\sin C$ 的值．

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19. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A A_{1} B_{1} = ∠ D_{1} A_{1} A$ ， $△ A_{1} B_{1} D_{1}$ 是等边三角形， $D_{1} B_{1} ⊥ B C$ ．

(1)、求证： $C_{1} B ⊥ B_{1} D_{1}$ ；

(2)、若 $B B_{1} = B C = \sqrt{3}$ ， $A B = 1$ ， $∠ B_{1} B C = 60 °$ ，求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A D_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 是正项等比数列，且 $a_{1} = 2$ ， $\frac{1}{a_{3}} - \frac{1}{a_{2}} = 1$ ，若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = \frac{1}{4}$ ， $b_{n + 1} = b_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $c_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} \cdot b_{n} \cdot b_{n + 1}}$ ，记 $S_{n} = c_{1} + c_{2} + \cdot \cdot \cdot + c_{n}$ ．若 $S_{n} > 8 - \frac{λ}{n^{2}}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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21. 已知 $F_{1}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > \sqrt{3})$ 的左焦点，经过点 $P (0 ， - 2)$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ．当直线 $l_{1}$ 经过点 $F_{1}$ 时，直线 $l_{2}$ 与 $C$ 有且只有一个公共点．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 与 $C$ 有两个交点，求 $| A B |$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x - m e^{x} (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = \frac{1}{e}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $m \geq \frac{2}{e^{2}}$ 时，求证 $f (x) < 0$ ．

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