四川省内江市2022届高三理数零模试卷

试卷更新日期：2021-08-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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2. 若 $f (x) = x \cos x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、1 C、 $- \frac{π}{2}$ D、-1

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3. 若双曲线 $m x^{2} - y^{2} = 1 (m > 0)$ 的离心率为 $2$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ 或3 D、3

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4. 已知命题 $p ：$ 若 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 4 ， - 6)$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ ；命题 $q ：$ 若 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0 ， 1)$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ .下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $(\neg p) \land (\neg q)$ C、 $(\neg p) \lor q$ D、 $p \land (\neg q)$

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5. 曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线如图所示，则 $f^{'} (1) - f (1) =$ （）

A、0 B、2 C、-2 D、-1

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6. 以椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆 $C$ 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{48} = 1$

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7. 若 $(1 + a x) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项与 $x^{3}$ 项的系数和为-10，则实数 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ，则“ $a < 0$ ”是“函数 $f (x)$ 为增函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知空间三点 $O (0 ， 0 ， 0)$ ， $A (- 1 ， 1 ， 0)$ ， $B (0 ， 1 ， 1)$ ，在直线 $O A$ 上有一点 $H$ 满足 $B H ⊥ O A$ ，则点 $H$ 的坐标为.

A、 $(\frac{1}{2} ， - \frac{1}{2} ， 0)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， 0)$ C、 $(- 2 ， 2 ， 0)$ D、 $(2 ， - 2 ， 0)$

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10. “二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“─”和“﹣﹣”，其中“─”在二进制中记作“1”，“﹣﹣”在二进制中记作“0”．如符号“☱”对应的二进制数011_（2）化为十进制的计算如下：011_（2）＝0×2²+1×2¹+1×2⁰＝3_（10）．若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11. 已知直线 $l$ ： $y = x - 1$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $A B$ 的中点为 $N$ ，且抛物线 $C$ 上存在点 $M$ ，使得 $\vec{O M} = 3 \vec{O N}$ （ $O$ 为坐标原点），则抛物线 $C$ 的方程为（）

A、 $y^{2} = 8 x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y^{2} = 2 x$ D、 $y^{2} = x$

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12. 对于函数 $y = f (x)$ ，若存在区间 $[a ， b]$ ，当 $x \in [a ， b]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[k a ， k b]$ ，则称 $y = f (x)$ 为 $k$ 倍值函数．若 $f (x) = x + \ln x$ 是 $k$ 倍值函数，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(1 ， \frac{1}{e} + 1)$ D、 $(\frac{1}{e} + 1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 设随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = k) = \frac{C}{k (k + 1)}$ ， $k = 1$ ， $2$ ， $3$ ， $C$ 为常数，则 $P (X < 3) =$ ．

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14. 为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有种不同的安排方案（用数字作答）．

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15. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，A是椭圆上一点， $A F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，若原点 $O$ 到直线 $A F_{1}$ 的距离为 $\frac{1}{3} | O F_{1} |$ ，则该椭圆的离心率为．

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16. 若对任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in (m ， + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $\frac{x_{1} \ln x_{2} - x_{2} \ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 2$ ，则 $m$ 的最小值是．

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三、解答题

17. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ，坐标原点为 $O$ ，焦点为 $F$ ，直线 $l$ ： $y = k x + 1$ ．

(1)、若 $l$ 与 $C$ 只有一个公共点，求 $k$ 的值；

(2)、过点 $F$ 作斜率为1的直线交抛物线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $△ O A B$ 的面积．

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18. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x$ 在 $x = 1$ 处有极值2．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $x \in [- 2 ， \frac{1}{2}]$ ，函数 $g (x) = m - f (x)$ 有零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作——强基计划．现对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，随机抽取了 $10$ 名学生．

(1)、在某次数学强基课程的测试中，超过 $90$ 分的成绩为优秀，否则为合格．这 $10$ 名学生成绩的统计数据如茎叶图所示，现随机从这 $10$ 名学生中抽取两名，记抽到成绩优秀的学生人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列及期望；

(2)、已知学生的物理成绩 $y$ 与数学成绩 $x$ 是线性相关的，现统计了小明同学连续5次在强基课程测试中的数学和物理成绩（如下表）．若第6次测试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次测试他的物理成绩大约是多少？

数学成绩 $x$

120

118

116

122

124

物理成绩 $y$

79

79

77

82

83

附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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20. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 面 $A B C D$ ，面 $A D D_{1} A_{1} ⊥$ 面 $A B C D$ ，点 $E$ 、 $M$ 、 $N$ 分别是棱 $A A_{1}$ 、 $B C$ 、 $C D$ 的中点．

(1)、证明： $A A_{1} ⊥$ 面 $A B C D$ ．

(2)、若四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，且 $A A_{1} = A D$ ，面 $E M N \cap$ 面 $A D D_{1} A_{1} =$ 直线 $l$ ，求直线 $l$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值．

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21. 已知 $A$ ， $B$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 上的两点.

(1)、若直线 $A B$ 的斜率为1，求 $| A B |$ 的最大值；

(2)、线段 $A B$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $N (t ， 0)$ ，求 $t$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + t x + t$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，求 $t$ 的取值范围，并证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} < \sqrt{- t}$ ．

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数学成绩 $x$	120	118	116	122	124
物理成绩 $y$	79	79	77	82	83