四川省成都市2022届高三理数零诊考试试卷

试卷更新日期：2021-08-11 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {x \in N^{*} | x < 9}$ ，集合 $A = {3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 8}$ B、 ${1 ， 2 ， 7 ， 8}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 7}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 7 ， 8}$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (2 - x) ， & x < 1 \\ e^{x} ， & x \geq 1 \end{array}$ 则 $f (- 2) + f (\ln 4) =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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3. 某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，满分为100分.如图所示的茎叶图为某班20名同学的测试成绩(单茎位：分).则这组数据的极差和众数分别是（）

A、20，88 B、30，88 C、20，82 D、30，91

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4. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最大值为（）

A、-4 B、0 C、2 D、4

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个焦点到其中一条渐近线的距离为 $2 a$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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6. 记函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ .若 $f (x) = e^{x} \sin 2 x$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、-1

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7. 已知 $M$ 为圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2$ 上一动点，则点 $M$ 到直线 $x - y + 3 = 0$ 的距离的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 已知直线 $l_{1} ： x + y + m = 0$ ， $l_{2} ： x + m^{2} y = 0$ .则“ $l_{1} / / l_{2}$ ”是“ $m = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $S$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、 $\frac{7}{8}$

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10. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $10 π$ C、 $12 π$ D、 $48 π$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x + 1}$ ， $g (x) = \ln x$ .若对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 2]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{g (\frac{x_{2}}{x_{1}}) - f (x_{1}) + f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} > - 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{27}{4}]$ B、 $(- \infty ， 2]$ C、 $(- \infty ， \frac{27}{2}]$ D、 $(- \infty ， 8]$

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12. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过抛物线上一点 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ ，设 $C (2 p ， 0)$ ， $A F$ 与 $B C$ 相交于点 $D$ .若 $| C F | = | A F |$ ，且 $△ A C D$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，则点 $F$ 到准线 $l$ 的距离是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

13. 设复数 $z = \frac{1 + 2 i}{i}$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $| z | =$ .

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14. 一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见不是红灯亮的概率为．

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15. 已知关于 $x$ ， $y$ 的一组数据：

$x$

1

$m$

3

4

5

$y$

0.5

0.6

$n$

1.4

1.5

根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为 $\hat{y} = 0.28 x + 0.16$ ，则 $n - 0.28 m$ 的值为.

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{| x - 1 |} - 1 ， 0 < x \leq 2 \\ \frac{1}{2} f (x - 2) ， x > 2 \end{array}$ 有下列结论：
①函数 $f (x)$ 在 $(- 6 ， - 5)$ 上单调递增；

②函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = x$ 有且仅有2个不同的交点；

③若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - (a + 1) f (x) + a = 0 (a \in R)$ 恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；

④记函数 $f (x)$ 在 $[2 k - 1 ， 2 k] (k \in N^{*})$ 上的最大值为 $a_{k}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $7$ 项和为 $\frac{127}{64}$ .

其中所有正确结论的编号是.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{a}{2} x^{2} - 2 x + \frac{5}{6}$ ，其中 $a \in R$ .若函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $2 x + y - 1 = 0$ 平行.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值.

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18. “2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行.成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组： $[70 ， 75)$ ， $[75 ， 80)$ ， $[80 ， 85)$ ， $[85 ， 90)$ ， $[90 ， 95)$ ， $[95 ， 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计这300名业主评分的中位数；

(2)、若先用分层抽样的方法从评分在 $[90 ， 95)$ 和 $[95 ， 100]$ 的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在 $[95 ， 100]$ 的概率.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $D C / / A B$ ， $B C ⊥ A B$ ， $E$ 为棱 $A P$ 的中点， $A B = 4$ ， $P A = P D = D C = B C = 2$ .

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 是线段 $B P$ 上的点，且 $B M = 2 M P$ ，求二面角 $M - A D - B$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上， $| P F_{1} | = 2$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l ： y = k x + m (m \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点.求 $Δ O A B$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 a x - \ln x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $x_{1} ， x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明： $f (2 a x_{1}) + f (2 a x_{2}) > 4 a^{2} (x_{1} + x_{2})$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数)，以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\sqrt{3} ρ \cos θ - ρ \sin θ + \sqrt{3} = 0$ ，

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、在曲线 $C$ 上任取一点 $(x ， y)$ ，保持纵坐标 $y$ 不变，将横坐标 $x$ 伸长为原来的 $\sqrt{3}$ 倍得到曲线 $C_{1}$ .设直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $P (- 1 ， 0)$ ，求 $| P M | + | P N |$ 的值.

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$x$	1	$m$	3	4	5
$y$	0.5	0.6	$n$	1.4	1.5