云南省昆明市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | - 2 < x < 2}$ ， $N = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 2}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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2. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 的中点，则 $\vec{C D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{C B}$ B、 $\vec{C A} + \vec{C B}$ C、 $\vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{C B}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{C A} + \vec{C B}$

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3. 设 $a > 0$ ，则下列各式正确的是（）

A、 $a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{4}{3}} = a$ B、 ${(a^{- 2})}^{2} = 1$ C、 $a \div a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}}$ D、 $a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{a^{4}}$

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4. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\tan α = 3 \sin α$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 一个圆柱的底面直径与高相等，且该圆柱的表面积与球 $O$ 表面积相等，则球 $O$ 的半径与圆柱底面半径之比为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 根据如下某市居民月均用水量的样本频数分布直方图，估计该市居民月均用水量的中位数为 $x$ 吨，平均数为 $y$ 吨，则 $x$ ， $y$ 的大小关系为（）

A、 $x > y$ B、 $x < y$ C、 $x = y$ D、无法确定

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7. 已知一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件 $A$ 和 $B$ ，其中 $n (Ω) = 12$ ， $n (A) = 6$ ， $n (B) = 4$ ， $n (A \cup B) = 8$ ，那么下列事件概率错误的是（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ C、 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{6}$ D、 $P (\bar{A} \bar{B}) = \frac{2}{3}$

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8. 设 $a = \frac{5}{4}$ ， $b = \log_{3} 4$ ， $c = \log_{4} 5$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{0}$ 满足 $z_{0} (1 + i) = 1 - i$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $| z_{0} | = 1$ B、 ${\bar{z}}_{0} = - 1 - i$ C、在复平面内 $z_{0}$ 对应的点在第二象限 D、若复数 $z$ 满足 $| z - z_{0} | = 2$ ，在复平面内 $z$ 对应的点为 $Z$ ，点 $Z$ 的集合是圆

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $A D$ 的中点，下列结论正确的是（）

A、 $A_{1} D ⊥ B C_{1}$ B、 $A_{1} D / /$ 平面 $A B_{1} C$ C、直线 $A_{1} E$ 与 $B_{1} F$ 相交 D、 $C$ ， $D_{1}$ ， $E$ ， $F$ 四点在同一平面内

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x > 0 ， \\ - x^{2} - 4 x ， x \leq 0. \end{array}$ 关于 $x$ 的方程 $f (x) - t = 0$ 的实数解个数，下列说法正确的是（）

A、当 $t \leq 0$ 时，方程有两个实数解 B、当 $t > 4$ 时，方程无实数解 C、当 $0 < t < 4$ 时，方程有三个实数解 D、当 $t = 4$ 时，方程有两个实数解

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12. 将一枚质地均匀且各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子连续抛掷3次，观察底面上的数字，则下列说法正确的是（）

A、三次都出现相同数字的概率为 $\frac{1}{64}$ B、没有出现数字1的概率为 $\frac{27}{64}$ C、至少出现一次数字1的概率为 $\frac{37}{64}$ D、三个数字之和为9的概率为 $\frac{5}{32}$

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三、填空题

13. 设 $a \in R$ ，则 $a > 1$ 的一个充分不必要条件是．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，则不等式 $f (x^{2} - 2 x) \leq 27$ 的解集为．

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15. 人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii ， A型的基因类型为ai或aa（假设ai、aa出现的概率相等），B型的基因类型为bi或bb（假设bi、bb出现的概率相等），AB型的基因类型为ab ，其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则他们的子女的血型是AB型的概率为．

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16. 关于函数 $f (x) = sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x$ 有如下四个命题：
① $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数．

② $f (x)$ 的一个周期为 $π$ ．

③ $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 对称．

④ $f (x)$ 的图象关于点 $(π ， 0)$ 对称．

其中所有真命题的序号是．

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四、解答题

17. 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg，规定：大于50kg为优产），其频率分布直方图如下（假设数据在组内均匀分布）：

(1)、根据频率分布直方图，比较新旧养殖法的优劣，并至少用两个统计特征量说明理由；

(2)、在旧养殖法的频率分布直方图中箱产量的第 $50$ 百分位数为 $47$ ，在新养殖法频率分布直方图中箱产量的第 $p$ 百分位数为 $47$ ，求 $p$ ．

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18. $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = \sqrt{13}$ ， $△ A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)、 $A$ ；

(2)、 $△ A B C$ 的周长．
条件① $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ；条件② $g^{'} (a) > 0$ ．

注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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19. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将 $y = f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [0 ， a]$ 时， $g (x)$ 的最大值为2，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $B B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} C$ 的中点．

(1)、若 $A B ⊥ D E$ ，证明： $A B ⊥ B C$ ；

(2)、证明： $A D / /$ 平面 $A_{1} E F$ ．

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21. 向量是解决数学问题的一种重要工具，我们可以应用向量的数量积来解决不等式等问题．

(1)、（ⅰ）若 $\vec{a} = (3 ， 4)$ ， $\vec{b} = (5 ， 12)$ ，比较 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 与 $| \vec{a} | | \vec{b} |$ 的大小；
（ⅱ）若 $\vec{a} = (3 ， 4)$ ， $\vec{b} = (6 ， 8)$ ，比较 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 与 $| \vec{a} | | \vec{b} |$ 的大小；

(2)、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量， $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2} ， y_{2})$ ，证明： ${(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})$ ；

(3)、设 $m ， n ， x ， y$ 为正数， $m^{2} + n^{2} = 5$ ， $x^{2} + y^{2} = 80$ ， $m x + n y = 20$ ，求 $\frac{m + n}{x + y}$ 的值．

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22. 2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口．目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线．某校数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为 $y = y_{0} e^{r t}$ ①（其中 $t$ 表示经过的时间， $y_{0}$ 表示 $t = 0$ 时的人口数， $r$ 表示人口的年平均增长率， $y$ 表示 $t$ 年后的人口数，单位：万人）．根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为 $t = 0$ 时的人口数，求得①式人口增长模型．经检验，1950~1959年的实际人口数与此模型基本吻合，如图．

(1)、若你是该小组成员，请求出①式的人口增长模型，并以该模型计算从1950年末开始，大约多少年后我国人口达到13亿？（年数取不小于 $t$ 的最小整数）

(2)、根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为 $y = 600 t + 13600$ （其中 $t$ 表示经过的时间， $y$ 表示第 $t$ 年的粮食年产量，单位：万吨）． $f (t) = \frac{600 t + 13600}{y_{0} e^{r t}}$ （ $t \in N$ ）表示从1950年末开始第 $t$ 年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．
（ⅰ）求满足 $\frac{f (k)}{f (k - 1)} < 1$ 的正整数 $k$ 的最小值；

（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．

参考数据： $ln 67207 - ln 55196 \approx 9 \times 0.02188$ ， $ln 130000 - ln 55196 \approx 39.15 \times 0.02188$ ， $e^{0.02188} \approx 1.022$ ， $55196 \times {1.022}^{23} \approx 91050$ ．

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