天津市河西区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列情况适合用全面调查的是（）

A、了解一批玉米种子的发芽率 B、了解某城市居民的食品消费结构 C、调查一个县各村的粮食播种面积 D、调查一条河的水质

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2. 下列命题正确的是（）

A、三点确定一个平面 B、一条直线和一个点确定一个平面 C、梯形可确定一个平面 D、圆心和圆上两点确定一个平面

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3. 设 $p$ ：“条件 $A$ 与条件 $B$ 互斥”， $q$ ：“条件 $A$ 与条件 $B$ 互为对立事件”，则 $p$ 是 $q$ 的

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分而不必要条件

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4. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则该试验的样本空间所包含的基本事件的个数为（）

A、6 B、9 C、12 D、16

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5. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）

A、α∥β且l∥α B、α⊥β且l⊥β C、α与β相交，且交线垂直于l D、α与β相交，且交线平行于l

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6. 某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如下图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于 $90 k m / h$ 的约有（）

A、100辆 B、200辆 C、300辆 D、400辆

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7. 在空间，若 $∠ A O B = ∠ A O C = 60 °$ ， $∠ B O C = 90 °$ ，直线 $O A$ 与平面 $O B C$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

A、中位数 B、平均数 C、方差 D、极差

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9. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点， $F$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点，且 $A_{1} F$ 与平面 $D_{1} A E$ 的垂线垂直，则下列说法不正确的是（）

A、 $A_{1} F$ 与 $D_{1} E$ 不可能平行 B、 $A_{1} F$ 与 $B E$ 是异面直线 C、点 $F$ 的轨迹是一条线段 D、三棱锥 $F - A B D_{1}$ 的体积为定值

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二、填空题

10. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市家．

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11. 一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件 $A$ 和 $B$ ，其中 $n (Ω) = 24$ ， $n (A) = 12$ ， $n (B) = 8$ ， $n (A \cup B) = 16$ ，则 $P (A B) =$ ．

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12. 已知平面 $α ， β$ 和直线a ， b ， c ， $a / / b / / c ， a \subset α ， b \subset β ， c \subset β$ ，则 $α$ 与 $β$ 的位置关系是.

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13. 如表记录了一位大学生某个月在食品上面的消费金额（单位：元）

日期	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
金额	31	29	26	32	33	28	34	31	34	34	35	26	27	35	34
日期	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
金额	28	28	30	32	28	33	26	35	34	35	30	28	34	31	29

则该组数据的第60%分位数为．

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14. 一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为．

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15. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知侧棱和底面边长都等于2， $E$ 是 $A B$ 的中点，则异面直线 $P E$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为．

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三、解答题

16. 某校为了解全校高中学生五一假期参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示.

(1)、求这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时的人数；

(2)、估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数.

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17. 甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是 $\frac{3}{5}$ ，乙答对每道题目的概率都是 $\frac{1}{2}$ ．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响．
（Ⅰ）求甲第二次答题通过面试的概率；

（Ⅱ）求乙最终通过面试的概率；

（Ⅲ）求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．

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18. 如图，已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A D = 1$ ， $A B = 2$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $P D$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $A F //$ 平面 $P E C$ ；

（Ⅱ）求 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角 $P - E C - D$ 的正切值．

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