四川省内江市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\cos (2 x - \frac{π}{6}) \cos 2 x + \sin (2 x - \frac{π}{6}) \sin 2 x =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 若 $a > b$ ，则一定有（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $| a | > | b |$ C、 $\sqrt{a^{2}} > \sqrt{b^{2}}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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3. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.若 $a_{4} + a_{5} = 0$ ， $a_{6} = 3$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、-12 B、-7 C、0 D、7

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ， $\vec{c} = (3 ， 4)$ .若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 设 $α$ 为锐角，若cos $(α + \frac{π}{6})$ = $\frac{4}{5}$ ，则sin $(2 α + \frac{π}{3})$ 的值为（）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $- \frac{12}{25}$

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6. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ .且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，若 $2 x + y > m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 7]$ B、 $(- \infty ， 7)$ C、 $(- \infty ， 9]$ D、 $(- \infty ， 9)$

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7. 已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ ，若 $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$ ， $2 S = \sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、正三角形 D、等腰直角三角形

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8. 中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则最后一天走了（）

A、4里 B、16里 C、64里 D、128里

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9. 将函数 $y = \sin (x - \frac{π}{3})$ 的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，再向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = f (x)$ 的图象．在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $f (2 A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且 $a = 4 ， b = 4 \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均不相等，且满足 $a_{2} + 2 a_{1} = 6$ ， $a_{3}^{2} = 2 a_{6}$ ，则该数列的前4项的和为（）

A、120 B、-120 C、3 D、-22.5

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11. 在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边， $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{c} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{b}$ 且 $\frac{\sin B}{\sin A} = \frac{1 - \cos B}{\cos A}$ ，若点 $O$ 是 $△ A B C$ 外一点， $O A = 2$ ， $O B = 1$ ．则平面四边形 $O A C B$ 的面积的最大值是（）

A、 $\frac{8 + 5 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{4 + 5 \sqrt{3}}{4}$ C、3 D、 $\frac{4 + 5 \sqrt{3}}{2}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a b = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ ， $b + 3 a cos C = 0$ ，则当角 $B$ 取得最大值时， $\vec{C B}$ 在 $\vec{B A}$ 方向上的投影是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \sqrt{10}$

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 ， 5)$ ， $\vec{b} = (10 ， x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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14. 计算： $\sin 60 ° \cos 15 ° - 2 \sin^{2} 15 ° \cos 15 ° =$ .

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15. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $5 a b + b^{2} = 1$ ，则a+b的最小值为.

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16. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} - a_{2} = 6$ ， $a_{5} - a_{1} = 15$ ，则 $a_{n} =$ ，又数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = \frac{1}{2}$ ， $b_{n + 1} = \frac{1}{1 - b_{n}}$ ；若 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，那么 $S_{3 n} =$ .

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 15$ ， $S_{6} = 9 S_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \log_{2} a_{2 n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = - 7$ ；

(1)、若 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $3 \vec{a} + k \vec{b}$ 垂直，求 $k$ 的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 夹角的余弦值．

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19. 解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + (1 - a) x - 1 > 0$ .

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20. 在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $2 a = \frac{b \cdot \cos C}{\cos A} + \frac{c \cdot \cos B}{\cos A}$ ．

(1)、求出角 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长的范围．

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21. 在 $△ A B C$ 中，a ， b ， c分别为内角A ， B ， C的对边，2b²＝(b²＋c²－a²)(1－tan A).

(1)、求角C；

(2)、若c＝2 $\sqrt{10}$ ，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度.
条件①：S_△_ABC＝4且B>A；条件②：cos B＝ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2 (n \in N^{*})$ 时， $(n - 1) S_{n} - (n + 1)$ $S_{n - 1} = \frac{1}{3} (n^{3} - n)$ .

(1)、计算： $a_{2}$ ， $a_{3}$ ；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、设 $b_{n} = \tan \sqrt{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n + 1} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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