四川省南充市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 棱长为1的正四面体的表面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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2. $\cos 72 \cos 12 ° + \sin 72 ° \sin 12 ° =$ （）

A、 $\cos 84 °$ B、 $\sin 84 °$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 设 $b < a$ ， $d < c$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a - c < b - d$ B、 $a c < b d$ C、 $a + c > b + d$ D、 $a + d > b + c$

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4. 下列说法中，错误的是（）

A、平行于同一直线的两个平面平行 B、平行于同一平面的两个平面平行 C、一个平面与两个平行平面相交，交线平行 D、一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交

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5. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2$ ， $a_{5} = 3 a_{3}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、-2 B、0 C、3 D、6

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6. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $B = 45 °$ ， $C = 60 °$ ， $c = 1$ ，则最短边的长等于（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 不等式x²－2x－5>2x的解集是(　　)

A、{x|x≥5或x≤－1} B、{x|x>5或x<－1} C、{x|－1<x<5} D、{x|－1≤x≤5}

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8. 利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是（）

A、①② B、① C、③④ D、①②③④

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9. 已知 $\tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{3}{5}$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2}$ ，设 $a = f (\log_{3} 0.2)$ ， $b = f (3^{- 0.2})$ ， $c = f (- 3^{1.1})$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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11. 将正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，并使得平面 $A B C$ 垂直于平面 $A C D$ ，则折起后的直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为（）

A、0° B、30° C、45° D、60°

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12. 在 $Δ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $Δ A B C$ 的面积为2，则 $\frac{2 \sin C}{\sin C + 2 \sin B} + \frac{\sin B}{\sin C}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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二、填空题

13. $\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} =$ ．

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14. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{3} = 12$ ， $a_{5} = 48$ ，则 $a_{7} =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中， $\cos \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $B C = 1$ ， $A C = 5$ ，则 $A B =$ .

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16. 已知正三棱锥 $S - A B C$ 的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形，侧棱长为 $2 \sqrt{5}$ ，则球O的表面积为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前三项依次为a ， 4， $3 a$ ．

(1)、求a；

(2)、记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{k} = 110$ ，求k ．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + 3$ ．

(1)、若 $f (x)$ 有一个零点为 $x = 3$ ，求a；

(2)、若当 $x \in R$ 时， $f (x) \geq a$ 恒成立，求a的取值范围．

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19. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $△ S A C$ 是正三角形，点O是 $A C$ 的中点，点D是 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $O D //$ 平面 $S B C$ ；

(2)、求证： $S O ⊥ A B$ ．

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20. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $2 \cos A (b \cos C + c \cos B) = \sqrt{3} a$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 1$ ， $△ A B C$ 的周长为 $\sqrt{3} + 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = - a_{n} - {(\frac{1}{2})}^{n - 1} + 2$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ．

(1)、求证：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列；

(2)、设 $c_{n} = \frac{n (n + 1)}{2^{n} (n - a_{n}) (n + 1 - a_{n + 1})}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求满足 $T_{n} < \frac{124}{63}$ 的n的最大值．

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22. 比较x²＋y²＋1与2(x＋y－1)的大小．

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23. 在 $Δ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a \cos A = b \cos B$ ，试判断 $Δ A B C$ 的形状.

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