四川省绵阳市2020-2021学年高一下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} = 2$ ， $a_{4} = 4$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、8 B、6 C、±8 D、±6

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2. 已知 $\vec{a} = (3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (m ， - 1)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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3. 已知平面 $α$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是两不同的直线.下列选项中，能推出 $l_{1} // l_{2}$ 的是（）

A、 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 无公共点 B、 $l_{1} // α$ ， $l_{2} // α$ C、 $l_{1} ⊥ a$ ， $l_{2} ⊥ α$ D、 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与 $α$ 所成角相等

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4. 已知 $a < 0 < b$ ，下列不等式错误的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a + c < b + c$ C、 $a^{2} < a b$ D、 $a c^{2} \leq b c^{2}$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 边上一点， $A D = \frac{2}{3} A B$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$

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6. 若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 x + b > 0$ 的解集为 ${x | - 3 < x < 1}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、3 D、-3

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $B C$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，下列说法错误的是（）

A、 $E F ⊥ A G$ B、 $E F$ 与 $A G$ 是异面直线 C、 $A$ ， $E$ ， $C_{1}$ ， $F$ 四点共面 D、直线 $E C_{1}$ 与平面 $A G F$ 相交

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8. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、 $\frac{9}{2}$ D、3

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9. 如图为一个空间几何何体的三视图，则它的体积为（）

A、 $2 π + \frac{4}{3}$ B、 $π + \frac{4}{3}$ C、 $π + \frac{2}{3}$ D、 $2 π + \frac{2}{3}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a \cos A \cos B = b \sin^{2} A + \frac{1}{2} a$ ， $c = 2 a$ ，则 $\sin A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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11. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A A_{1} = A C = B C = 2$ ， $E$ 为棱 $A B$ 的中点，在侧棱 $B B_{1}$ 上存在一点 $P$ ，使得 $C P ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} E$ ，则 $C P =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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12. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $| \vec{b} - \vec{c} | = 1$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 最大值为（）

A、6 B、4 C、2 D、1

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二、填空题

13. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y \leq 6 \\ x + y \leq 6 \\ x \geq 2 \end{array}$ ，则目标函数 $z = x - y$ 的最小值为.

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14. 数学兴趣小组为了测量电视塔 $A B$ 的高度，在塔底水平面上设置两个观测点 $C$ ， $D$ ， $C D$ 间距离为108米，在点 $C$ 处测得 $A$ ， $D$ 的张角为60°，在点 $D$ 处测得 $A$ ， $C$ 的张角为75°，测得点 $B$ 的仰角为60°，则塔高 $A B =$ 米.

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15. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P B ⊥ B C$ ， $P A = A C = 2$ ，则该三棱锥的外接球表面积为.

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16. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1$ ， $S_{n} + S_{n - 1} = n^{2} + 2 (n \geq 2)$ ，则 $S_{21} =$ .

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三、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{5} = 15$ ， $a_{2} + a_{5} = 7$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，已知 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $A C = 4$ ， $\vec{A D} = \vec{D C}$ ， $\vec{B E} = \vec{E C}$ ， $A E$ 与 $B D$ 相交于点 $F$ .

(1)、求 $| \vec{A E} |$ ；

(2)、求 $\vec{F D}$ 与 $\vec{F E}$ 的夹角的余弦值.

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19. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A = S B = A C = B C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $S C = 1$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $S A$ ， $A B$ 的中点.

(1)、求证： $D E //$ 平面 $B C S$ ；

(2)、求三棱锥 $S - A B C$ 的体积.

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20. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $△ B C D$ 为等边三角形.

(1)、若 $A = \frac{2 π}{3}$ ，求 $B D$ 的长；

(2)、求四边形 $A B C D$ 面积的取值范围.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ，点 $E$ 为线段 $P B$ 的中点，点 $F$ 为线段 $B C$ 上的动点.

(1)、求证：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、是否存在点 $F$ ，使得直线 $E F$ 与直线 $P A$ 所成角为60°?若存在，求出 $B F$ 的长度；若不存在，请说明理由.

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22. 设 ${a_{n}}$ 是公差大于1的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n}^{2} = b_{n + 1} \cdot b_{n - 1} (n \geq 2)$ .已知 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 4$ ， $b_{2} = a_{2} + a_{3}$ ， $2 a_{3}$ 是 $b_{1}$ 和 $b_{3}$ 的等差中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，且数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，不等式 $T_{n} < a_{2} - \frac{1}{2} a$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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