陕西省咸阳市杨凌区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $\tan (θ + \frac{π}{4}) = 7$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、6 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、8

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2. 下列事件是随机事件的是（）
①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上；

②异性电荷相互吸引；

③在标准大气压下，水在100℃时结冰；

④任意掷一粒均匀的骰子，朝上的点数是偶数.

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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3. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个进行统计，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A、简单随机抽样 B、分层抽样 C、系统抽样 D、随机数表法

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4. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P（A）= 0.65 ，P(B)=0.2 ，P(C)=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）

A、0.65 B、0.35 C、0.3 D、0.005

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5. 有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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6. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ 的中点，则 $\vec{D E} + \vec{D F}$ 等于（）

A、 $\vec{E F}$ B、 $- 2 \vec{E F}$ C、 $- \vec{C D}$ D、 $\vec{C D}$

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7. 机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴.某公司为了研究某款智能语音机器人在 $M$ ､ $N$ 两个专卖店的销售情况，统计了 $2020$ 年 $2$ 月至 $7$ 月 $M$ ､ $N$ 两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图所示的折线图，则下列说法正确的是（）

A、 $M$ 店营业额总体呈下降趋势 B、 $M$ 店营业额总体呈上升趋势 C、 $N$ 店营业额总体呈上升趋势 D、 $M$ 店营业额的极差比 $N$ 店营业额的极差大

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8. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（）.

A、是对立事件 B、都是不可能事件 C、是互斥事件但不是对立事件 D、不是互斥事件

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9. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，且满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 掷一个骰子的试验，事件 $A$ 表示“出现小于5的偶数点”，事件 $B$ 表示“出现小于5的点数”.若 $\bar{B}$ 表示 $B$ 的对立事件，则一次试验中，事件 $A + \bar{B}$ 发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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11. 骑自行车是一种既环保又健康的运动，如图是某自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 $A$ （前轮），圆 $D$ （后轮）的半径均为 $\sqrt{3}$ ， $△ A B E$ 、 $△ B E C$ 、 $△ E C D$ 均是边长为 $4$ 的等边三角形.设点 $P$ 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， $\vec{A C} \cdot \vec{A P}$ 的最大值为（）

A、48 B、36 C、72 D、60

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二、多选题

12. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）

A、 $sin(x + \frac{π}{3} ）$ B、 $sin(\frac{π}{3} - 2 x)$ C、 $cos(2 x + \frac{π}{6} ）$ D、 $cos(\frac{5 π}{6} - 2 x)$

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三、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (m ， - 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 函数 $y = \tan (4 x - \frac{π}{4})$ 的定义域为.

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15. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 $36 °$ 的等腰三角形(另一种是顶角为 $108 °$ 的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 $△ A B C$ 中， $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .根据这些信息，可得 $\cos 144 ° =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 的图像在 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 上与 $x$ 轴恰有两个交点，则 $ω$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $f (α) = \frac{\sin (3 π - α) \cos (α + \frac{3 π}{2}) \cos (- α - π)}{\sin (α + π) \tan (- α + π)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若角 $α$ 的终边经过点 $P (- 6 ， - 8)$ ，求 $f (α)$ .

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18. 某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案（2）规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为 $[25 ， 35) ， [35 ， 45) ， [45 ， 55) ， [55 ， 65) ， [65 ， 75) ， [75 ， 85) ， [85 ， 95]$ 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求直方图中a的值；

(2)、以样本数据的平均业务量为标准，该快递骑手应选择哪个方案？（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；

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19. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 图象的两条对称轴的最小距离为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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20. 某班倡议暑假期间每位同学每天至少进行1小时的体育锻炼.为了解同学们的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如下表：

一周锻炼时间(小时)	5	6	7	8	9
男生人数(人)	1	2	4	3	4
女生人数(人)	3	8	5	3	1

(1)、试根据上述数据，分别求出这个班男生，女生在该周的平均体育锻炼时长；

(2)、若从该周锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $t (\frac{π}{2} < t < π)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象.

(1)、若 $g (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称，求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、在（1）的条件下，当 $x \in [- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{4}]$ 时，求不等式 $g (x) < \sqrt{3}$ 的解集.

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22. 随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中 $x$ 表示开设网店数量， $y$ 表示这 $x$ 个分店的年销售额总和），现已知 $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 8850 ， \sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 2000$ ，求解下列问题；

(1)、经判断，可利用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，求解 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(2)、按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润 $w$ （单位：万元）满足 $w = y - 5 x^{2} - 140$ ，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．
参考公式；线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} ， \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$

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