山东省泰安市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $i^{2} (1 + i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 2)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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3. 从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3个球，若事件 $A =$ “所取的3个球中至少有1个红球”，则事件 $A$ 的对立事件是（）

A、1个白球2个红球 B、3个都是白球 C、2个白球1个红球 D、至少有一个红球

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 a \sin B = \sqrt{3} b$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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5. 一个侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，其中 $O^{'} A^{'} = 2$ ，则该直棱柱的体积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $16 \sqrt{3}$ D、 $32 \sqrt{3}$

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6. 某地区居民血型的分布为 $O$ 型 $49 % ， A$ 型 $19 % ， B$ 型25%，AB型7%.已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（）

A、19% B、26% C、68% D、75%

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7. 泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古塔．某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点 $A$ 处测得塔顶 $B$ 的仰角为 $60 °$ ，在塔底 $C$ 处测得 $A$ 处的俯角为 $45 °$ ．已知山岭高 $C D$ 为256米，则塔高 $B C$ 为（）

A、 $256 (\sqrt{2} - 1)$ 米 B、 $256 (\sqrt{3} - 1)$ 米 C、 $256 (\sqrt{6} - 1)$ 米 D、 $256 (2 \sqrt{3} - 1)$ 米

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8. 过球 $O$ 表面上一点 $A$ 引三条长度相等的弦 $A B 、 A C 、 A D$ ，且 $A B 、 A C 、 A D$ 两两夹角都为60°，若 $B D = \sqrt{2}$ ，则该球的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3} π}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3} π}{4}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = (m^{2} - 1) + (m + \sqrt{3}) (m + 1) i (m \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m = 0$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = - 1 - \sqrt{3} i$ B、若复数 $z = 2$ ，则 $m = - \sqrt{3}$ C、若复数 $z$ 为纯虚数，则 $m = \pm 1$ D、若 $m = 0$ ，则 $4 + 2 z + z^{2} = 0$

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10. 2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章．百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人．为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级进行分层随机抽样得到容量为 $n$ 的样本．若在高一年级中抽取了40人，则下列结论一定成立的是（）

A、样本容量 $n = 100$ B、在抽样的过程中，女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是不相等的 C、高二年级，高三年级应抽取的人数分别为32人，28人 D、如果高一，高二，高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分，80分，90分，那么估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为84.8分

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11. 如图，平面 $α \cap$ 平面 $β =$ 直线 $l$ ，点 $A ， C \in α$ ，点 $B ， D \in β$ ，且 $A 、 B 、 C 、 D \notin l$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别是线段 $A B$ 、 $C D$ 的中点.（）

A、当直线 $A C$ 与 $B D$ 相交时，交点一定在直线 $l$ 上 B、当直线 $A B$ 与 $C D$ 异面时， $M N$ 可能与 $l$ 平行 C、当 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点共面且 $A C // l$ 时， $B D // l$ D、当 $M$ 、 $N$ 两点重合时，直线 $A C$ 与 $l$ 不可能相交

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12. 平面内任意给定一点 $O$ 和两个不共线的向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量 $\vec{m}$ 都可以唯一表示成 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的线性组合： $\vec{m} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} (x ， y \in R)$ ，则把有序数组 $(x ， y)$ 称为 $\vec{m}$ 在仿射坐标系 ${O ； \vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}}$ 下的坐标，记为 $\vec{m} = (x ， y)$ ．在仿射坐标系 ${O ； \vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}}$ 下， $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2} ， y_{2})$ 为非零向量，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2} ， y_{1} + y_{2})$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ C、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ D、 $\cos θ = \frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$

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三、填空题

13. 数据：86，98，84，91，88，90，94的75%分位数为．

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14. 写出一个虚数 $z$ ，使 $z^{2}$ 的实部为0，则 $z =$ ．

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15. 已知点 $A (- 2 ， - 1)$ ， $B (3 ， 4)$ ， $C (- 1 ， 1)$ ， $D (3 ， 3)$ ，与 $\vec{A B}$ 同向的单位向量为 $\vec{e}$ ，则向量 $\vec{C D}$ 在向量 $\vec{A B}$ 方向上的投影向量为．

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16. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平方，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为；侧面与底面所成二面角的余弦值为．

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四、解答题

17. 如图是古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ，约公元前417年—公元前369年）用来构造无理数 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ ，…的平面图形．根据图中数据解决下列问题．

(1)、计算图中线段 $B D$ 的长度；

(2)、求 $∠ D A B$ 的余弦值．

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18. 已知复数 $z = 2 + a i (0 < a < 3)$ ，且 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的一个根．

(1)、求 $z$ 及 $\frac{\overline{z}}{z}$ ；

(2)、若复数 $z_{0}$ 满足 $1 \leq | z_{0} | \leq | z |$ ，则在复平面内 $z_{0}$ 对应的点 $Z_{0}$ 的集合是什么图形？并求出该图形的面积．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $E ， F$ 分别为 $A C ， B C$ 的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $P A = P C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，
求证：平面 $P E F ⊥$ 平面 $P B C$ ．

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20. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， λ) (λ \in R)$ ．

(1)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围；

(2)、已知 $\vec{A B} = m \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{a} + m \vec{b}$ ，其中 $A$ ， $B$ ， $C$ 是坐标平面内不同的三点，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，当 $λ = m$ 时，求 $m$ 的值．

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21. 某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取

n

名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分(满分100分)从低到高将满意度分为四个等级：

调查评分	[40，50)	[50，60)	[60，70)	[70，80)	[80，90)	[90，100]
满意度等级	不满意		一般		良好	满意

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[70，80)的顾客为40人.

(1)、求n的值及频率分布直方图中

t

的值；

(2)、据以往数据统计，调查评分在[60，70)的顾客购买该公司新品的概率为

\frac{1}{4}

，调查评分在[70，80)的顾客购买该公司新品的概率为

\frac{1}{3}

，若每个顾客是否购买该公司新品相互独立，在抽取的满意度等级为“一般”的顾客中，按照调查评分分层抽取3人.试问在抽取的3人中，至少有一人购买该公司新品的概率为多少？

(3)、该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不需要调整.根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替)

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22. 如图，点 $O$ 是正方形 $A B C D$ 两对角线的交点， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = B F = 2 D E$ ， $M$ 是线段 $E F$ 上一点，且 $M F = 2 M E$ ．

(1)、证明：三棱锥 $M - A C F$ 是正三棱锥；

(2)、试问在线段 $D F$ （不含端点）上是否存在一点 $N$ ，使得 $C N //$ 平面 $A B F$ ．若存在，请指出点 $N$ 的位置；若不存在，请说明理由．

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