山东省聊城市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = \frac{a - i}{1 + i} (a \in R)$ 在复平面内对应的点在虚轴上．则 $a =$ （）

A、1 B、0 C、-1 D、-2

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2. 基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．可用符号表示为（）

A、 $A \subset l$ ， $B \subset l$ ，且 $A \subset α$ ， $B \subset α \Rightarrow l \in α$ B、 $A \in l$ ， $B \in l$ ，且 $A \in α$ ， $B \in α \Rightarrow l \subset α$ C、 $A \in l$ ， $B \in l$ ，且 $A \subset α$ ， $B \subset α \Rightarrow l \subset α$ D、 $A \in l$ ， $B \in l$ ，且 $A \in α$ ， $B \in α \Rightarrow l \in α$

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3. 某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据．现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（）

A、景区A这7年的空气质量优良天数的极差为100 B、这7年A，B景区空气质量优良的天数在2016年相差的最多 C、景区B这7年的空气质量优良天数的第60百分位数为273 D、这7年景区A的空气质量优良天数的标准差比景区B的空气质量优良天数的标准差大

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4. 如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是 $△ A B C$ 用斜二测画法画出的直观图，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、12 B、 $2 (2 + \sqrt{5})$ C、 $4 (1 + \sqrt{2})$ D、 $2 (2 + \sqrt{2} + \sqrt{5})$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (λ ， 1)$ ， $\vec{b} = (4 ， λ)$ ．若 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} | + | 2 \vec{b} |$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2或-2 B、2 C、0 D、-2

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6. 已知l表示直线， $α$ ， $β$ 表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若l， $α$ 不平行，则 $α$ 内不存在直线与l平行 B、若l， $α$ 不垂直，则 $α$ 内不存在直线与l垂直 C、若 $α // β$ ，则 $α$ 内的所有直线均与 $β$ 不垂直 D、若 $α ⊥ β$ ，则 $α$ 内的所有直线均与 $β$ 不平行

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7. 为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，引导干部学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为 $\frac{12}{5}$ ．若 $a = b$ ，则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为（）

A、 $\frac{16}{7}$ B、 $\frac{21}{10}$ C、 $\frac{43}{20}$ D、 $\frac{33}{14}$

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8. 第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦"，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米．图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图．

世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中 $A A^{'} // P P^{'} // O O^{'} // B B^{'}$ （ $O$ ， $O^{'}$ 分别为半圆的圆心），线段 $P P^{'}$ 与半圆分别交于C， $C^{'}$ ，若 $A A^{'} = 280$ 米， $B B^{'} = 128$ 米， $∠ P O B = 105 °$ ， $∠ C O B = 75 °$ ， $∠ O B B^{'} = 120 °$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，则 $O P$ 的长约为（）

A、27米 B、28米 C、29米 D、30米

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9. 已知平面单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{e_{3}}$ 满足 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{3}} = 0$ ，则下列结论可能成立的是（）

A、 $\vec{e_{3}} = \sqrt{3} \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{2}} \cdot \vec{e_{3}} = \frac{1}{2}$ C、 $| \vec{e_{2}} - \vec{e_{3}} | = \frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $| \vec{e_{2}} + \vec{e_{3}} | = 1$

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二、多选题

10. 已知复数 $z_{0}$ 、 $z$ ，其中 $z_{0} = 2 i - 3$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z_{0}$ 的虚部为 $2 i$ B、 $z_{0}$ 的共轭复数 $\bar{z_{0}} = - 2 i - 3$ C、 $z_{0}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 6 x + 13 = 0$ 的一个根 D、若 $| z - z_{0} | = 3$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点的集合是以 $(- 3 ， 2)$ 为圆心， $3$ 为半径的圆

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11. 假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件 $A =$ “家庭中没有女孩”， $B =$ “家庭中最多有一个女孩”， $C =$ “家庭中至少有两个女孩”， $D =$ “家庭中既有男孩又有女孩”，则（）

A、A与C互斥 B、 $A \cup D = B$ C、B与C对立 D、B与D相互独立

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12. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为 $3 + \sqrt{3}$ ，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（）

A、与AB所成的角是60°的棱共有8条 B、AB与平面BCD所成的角为45° C、二面角 $A - B C - D$ 的余弦值为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、经过A，B，C，D四个顶点的球面面积为 $2 π$

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三、填空题

13. 为了解高一学生的体能情况，某校随机抽取了200名高一学生进行了1分钟跳绳测试，统计测试成绩并绘制如图的频率分布直方图，则这200名学生1分钟跳绳次数的中位数为．

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14. 已知一母线长为2的圆锥的轴截面面积是 $\sqrt{3}$ ，则该圆锥的侧面积为．

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15. 某盒子中有大小和质地完全相同的四个小球，分别写有“百”“炼”“成”“钢”四个字，有放回地从中任意依次摸球，每次1球，直到“成”“钢”二字都摸到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生1~4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“百”“炼”“成”“钢”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
434 342 431 143 243 124 234 441 223 321

432 134 233 432 332 341 213 243 431 314

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为．

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16. 已知梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 2 C D$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 为 $B D$ 与 $A E$ 的交点， $\vec{A D} = λ \vec{A B} + μ \vec{A E}$ ，则 $λ + μ =$ ；若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 6$ ， $∠ A B C = 45^{\circ}$ ，则 $∠ A F D$ 的余弦值为．

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四、解答题

17. 已知点 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (1 ， 2)$ ， $C (x ， - 1)$ ， $D (3 ， y)$ ．

(1)、若四边形ABCD是平行四边形，求x，y的值；

(2)、若 $x = - 2$ ，且 $(\vec{A B} + \vec{A C}) ⊥ \vec{C D}$ ，求向量 $\vec{A B}$ 在 $\vec{C D}$ 方向上的投影向量．

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18. 第五代移动通信技术（简称5G）是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意程度，随机抽取了本市300名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：

满意程度	25岁以下		26岁至50岁		50岁以上
满意程度	男	女	男	女	男	女
满意	20	21	35	16	25	6
一般	20	20	25	19	12	16
不满意	15	9	10	15	8	8

(1)、若从样本中任取1人，求此用户年龄不超过50岁的概率；

(2)、记满意为5分，一般为3分，不满意为1分，根据表中数据，求样本中26岁至50岁5G手机男用户满意程度的平均分；

(3)、若从样本中26岁至50岁对5G网络不满意的5G手机用户中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中不放回地依次随机挑选2人咨询不满意的原因，求第2次才挑选到了女用户的概率．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC，D为BC的中点，F为PD的中点，E为线段AC上一点， $A C = 4 A E$ ．

(1)、证明： EF∥平面PAB；

(2)、若经过点E在底面ABC内画一条直线与PD垂直，则应该怎样画？请说明理由．

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20. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 2 (b - c \cos A)$ ．

(1)、求C；

(2)、若边AB上的高为3，求c的最小值．

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21. 排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球都完成得分，谁取胜谁就得1分，得分的队拥有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束．甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙队发球时甲队获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ，且各次发球的胜负结果相互独立，若甲、乙两队双方 $X ： X$ 平后，甲队拥有发球权．

(1)、当 $X = 24$ 时，求两队共发2次球就结束比赛的概率；

(2)、当 $X = 22$ 时，求甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率．

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22. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面ABC， $∠ A_{1} A C = ∠ A C B = 60 °$ ， $A A_{1} = A C = 2 B C$ ，D是BC的中点，N为线段AC上的动点．

(1)、证明：平面 $A_{1} B_{1} D ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若 $A_{1} N + B N$ 的最小值为 $2 \sqrt{7}$ ，求过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，D三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积．

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