山东省济南市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = (2 - i) + t (1 + i)$ （i是虚数单位）是纯虚数，则实数 $t =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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2. “幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位某小区居民，他们的幸福感指数分别为6，7，7，8，9，8，则这组数据的第80百分位数是（）

A、7 B、8 C、8.5 D、9

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3. 甲、乙、丙和丁四个人站成一排，下列事件互斥的是（）

A、“甲站排头”与“乙站排尾” B、“甲站排头”与“乙不站排尾” C、“甲站排头”与“乙站排头” D、“甲不站排头”与“乙不站排尾”

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4. 在 $△ A B C$ 中，若点 $D$ 满足 $\vec{B C} = 3 \vec{D C}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$

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5. 给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据（）

A、众数为2 B、平均数为2.5 C、方差为1.6 D、标准差为4

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $C D$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $B C_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{25}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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7. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率 $P$ ．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：
169 966 151 525 271 937 592 408 569 683

471 257 333 027 554 488 730 863 537 039

据此估计 $P$ 的值为（）

A、0.6 B、0.65 C、0.7 D、0.75

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8. 如图①所示，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D$ ， $A C ⊥ B C$ ， $∠ B = 60 °$ ， $A D = C D = \sqrt{6}$ ．现将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，并连接 $B D$ ，如图②，只当三棱锥 $D - A B C$ 的体积最大时，其外接球的体积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $16 π$

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二、多选题

9. 某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况（该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾为主），随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1000千克的生活垃圾，数据（单位：千克）统计如下：

	“厨余垃圾”箱	“可回收物”箱	“其他垃圾”箱
厨余垃圾的投放质量	400	200	100
可回收物的投放质量	30	140	30
其他垃圾的投放质量	20	20	60

根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是（）

A、“厨余垃圾”投放正确的概率约为

\frac{4}{7}

B、“可回收物”投放错误的概率约为

\frac{3}{5}

C、该小区这三类垃圾中，“厨余垃圾”投放正确的概率最低 D、该小区这三类垃圾中，“其他垃圾”投放错误的概率最高

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10. 若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{c} | = 3$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、5 D、6

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11. 习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一和高二年级每周在校体育锻炼时长进行了统计，得到数据（单位：小时）如下：
高一年级在校体育锻炼时长

分组

频率

$[2 ， 3)$

0.25

$[3 ， 4)$

0.30

$[4 ， 5)$

0.20

$[5 ， 6]$

0.25

关于高一和高二年级在校体育锻炼时长，下列说法正确的是（）

A、高一年级时长的众数比高二年级的大 B、高一年级时长的平均数比高二年级的小 C、高一年级时长的中位数比高二年级的大 D、高一年级时长的方差比高二年级的大

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12. 已知圆锥的顶点为 $S$ ，底面半径为 $\sqrt{3}$ ，高为1， $A$ ， $B$ 是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（）

A、圆锥的侧面积是 $2 \sqrt{3} π$ B、 $S A$ 与底面所成的角是 $\frac{π}{6}$ C、 $△ S A B$ 面积的最大值是 $\sqrt{3}$ D、该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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三、填空题

13. 某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72，120，160，为了解该医院医生的出诊情况，按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为20，则抽取老年医生的人数为．

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14. 甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ，则该密码被成功破译的概率为．

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15. 圆台上、下底面半径分别为1和2，母线长2，为则该圆台的体积为．

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16. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ， $A C = 24$ ， $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，若 $\vec{C A} = m \vec{C B} + (\frac{4}{3} - m) \vec{C D}$ ，则 $\frac{A O}{O C}$ 的值为， $O D$ 的长为．

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四、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设与 $x$ 轴、 $y$ 轴方向相同的两个单位向量分别为 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ ， $\vec{O A} = \vec{i} + 2 \vec{j}$ ， $\vec{O B} = 2 \vec{i} + \vec{j}$ ．

(1)、求向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 夹角的余弦值；

(2)、若点 $P$ 是线段 $A B$ 的中点，且向量 $\vec{O P}$ 与 $\vec{O A} + k \vec{O B}$ 垂直，求实数 $k$ 的值．

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18. 一般地，一个大于1的正整数可以表示为两个或两个以上的正整数之和，我们定义：将一个正整数 $n (n > 1)$ 表示为 $k$ 个正整数的和，叫做正整数 $n$ 的 $k$ 拆分，若不考虑拆分部分之间的顺序，称为正整数 $n$ 的无序 $k$ 拆分.例如，4的所有无序2拆分记作：{1，3}，{2，2}．

(1)、写出9的所有无序2拆分；

(2)、从9的所有无序3拆分中任取一个，求“所取拆分中的3个数可以作为 $△ A B C$ 的三边长”的概率.

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19. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $M$ ， $N$ 分别为 $A D$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、求证：平面 $B_{1} D_{1} M ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求证： $M N //$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ．

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20. 在 $△ A B C$ 中，三个角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \cos B - b \cos A = c - b$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{16} (4 b^{2} + c^{2})$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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21. 2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某学校为学生组织了系列学党史活动．为了解学生的学习情况，从全校学生中随机抽取了1名同学进行党史知识测试，满分100分，并将这 $n$ 名同学的测试成绩按 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．已知测试成绩在 $[80 ， 90)$ 的学生为70人．

(1)、求 $n$ 的值及频率分布直方图中 $t$ 的值；

(2)、为奖励优胜者，学校将对本次测试成绩排在前40%的学生发放奖品，若某学生获得了奖品，请估算一下该学生的成绩至少达到多少分；

(3)、学校组织党史知识测试设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若学生的平均成绩不低于80分，只需发放下一步学习资料，否则要举办党史知识大讲堂加强学习．请根据所学的统计知识，估计该校是否需要举办党史知识大讲堂，并说明理由．（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

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22. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形 $A B C D$ 为正方形，四边形 $A B F E$ ， $C D E F$ 为两个全等的等腰梯形， $A B = 4$ ， $E F // A B$ ， $A B = 2 E F$ ， $E A = E D = F B = F C = \sqrt{17}$ ．

(1)、求二面角 $A - E F - C$ 的大小；

(2)、求三棱锥 $A - B D F$ 的体积；

(3)、点 $N$ 在直线 $A D$ 上，满足 $A N = m A D$ （ $0 < m < 1$ ），在直线 $C F$ 上是否存在点 $M$ ，使 $N F //$ 平面 $B D M$ ？若存在，求出 $\frac{C M}{M F}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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分组	频率
$[2 ， 3)$	0.25
$[3 ， 4)$	0.30
$[4 ， 5)$	0.20
$[5 ， 6]$	0.25