北京市昌平区2020-2021学年七年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-08-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知∠α=30°，那么∠α的余角等于（　　）

A、30° B、60° C、70° D、150°

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2. 叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．其中，0.00005用科学记数法表示为（　　）

A、0.5×10^﹣⁴ B、5×10^﹣⁴ C、5×10^﹣⁵ D、50×10^﹣³

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{- 1} = a$ B、 $a \cdot a^{3} = a^{4}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 ${(a^{3})}^{2} = a^{9}$

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4. 如图， $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 1 = ∠ D$ C、 $∠ C = ∠ D$ D、 $∠ B + ∠ C = 180 °$

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5. 如果 $x^{2} + m x + 4$ 是一个完全平方式，则 $m$ 等于（）

A、-4 B、2 C、4 D、±4

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6. 有下列变形：①由 $a > b$ 得 $a + c > b + c$ ；②由 $a > b$ 得 $5 a > 5 b$ ；③由 $a > b$ 得 $- 8 a < - 8 b$ ；④由 $a > b$ 得 $a c > b c$ ，其中变形一定正确且使用了“不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”这一不等式基本性质的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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7. 已知 $x + y = 3$ ，如果 $x < y$ 且 $x$ ， $y$ 是正整数，那么不等式 $- k x + y > 0$ 中 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 2$ B、 $k < - 2$ C、 $k < \frac{1}{2}$ D、 $k < - \frac{1}{2}$

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8. 在某学校庆祝建党“100周年”的活动上，宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律，第 $n$ 个“100”字样的棋子个数是（）

A、 $11 n$ B、 $n + 10$ C、 $5 n + 6$ D、 $6 n + 5$

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二、填空题

9. 分解因式： $m^{2} + m =$ ．

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10. 如果 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 0 \end{array}$ 是关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $a x + 6 y = 1$ 的解，那么 $a$ 的值是

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11. 昌平区五月份某一周每天的最高气温统计如下表：

最高气温（℃）

22

24

25

27

天数

2

3

1

1

则这组数据的平均数是℃，众数是℃．

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12. 如图，直线 $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $O$ ， $O E ⊥ A B$ 于点 $O$ ，若 $∠ C O E = 55 °$ ，则 $∠ B O D$ 为．

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13. 我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人数多少？银子几何？意思是：有若干客人分银若干两，如果每人分7两，还多4两；如果每人分9两，还差8两（题中斤、两为旧制，1斤＝16两）．问：有多少位客人？多少两银子？设有 $x$ 位客人， $y$ 两银子，根据题意，可列方程组为．

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14. 把面积为 $a^{2}$ ， $b^{2}$ 的小正方形和面积为 $a b$ 的两个长方形拼成如图所示的大正方形．那么，大正方形的边长为．（ $a > 0$ ， $b > 0$ ）

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15. 已知 $a^{x} = 3$ ， $a^{y} = 4$ ，则 $a^{x + y} =$ ．

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16. “体育节”中，初一年级四个班进行了足球单循环比赛，每两班赛一场，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，一班、二班、三班、四班分别获得第一、二、三、四名，各班的总得分恰好是四个连续奇数，那么与二班踢平的班是．

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三、解答题

17. 分解因式： $2 a^{2} - 2 b^{2}$ ．

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18. 计算： $a^{2} \cdot a^{4} + {(2 a^{3})}^{2} - 3 a^{8} \div a^{2}$ ．

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19. 解不等式 $\frac{x - 1}{2} > \frac{2 x - 3}{5}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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20. 解方程组： ${\begin{array}{l} x - 2 y = 3 \\ 3 x + y = 2 \end{array}$ ．

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21. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 1 - x \leq 3 \\ 3 (x - 1) \leq 2 x + 1 \end{array}$ 并写出整数解的中位数．

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22. 先化简，再求值： ${(x - 2)}^{2} - x (x - 1) - 3^{0}$ ，其中 $x = 2$ ．

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23. 某集团校对本集团的四个校区的初一学生，围绕着“你最喜欢的居家健身项目是什么（只选一项）”的问题进行了随机抽样调查．过程如下：

收集数据

A.平板支撑；B.蹲起；C.仰卧起坐；D.开合跳；E ．其他

经过调查得到的一组数据如下：

D C C A D A B A D B

B E D D E D B C C E

E C B D E E D D E D

B B C C D C E D D A

B D D C D D E D C E

整理数据

抽样调查50名初一学生最喜欢的居家健身项目人数统计表

活动项目	划记	频数
A ．平板支撑		4
B ．蹲起
C ．仰卧起坐	正正	10
D ．开合跳
E ．其他	正正	10
总计		50

描述数据

各校区初一学生人数占集团初一学生总人数的百分比

根据以上信息回答下列问题：

(1)、补全统计表；

(2)、求本次抽样调查中，最喜欢开合跳项目的人数占被调查总人数的百分比；

(3)、若校区4共有160名初一学生，请你估计该集团初一学生中，最喜欢蹲起项目的人数约为多少人？

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24.
⑴阅读以下内容：已知 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y = 5$ ，且 ${\begin{array}{l} 3 x + 7 y = 5 m - 3 ， \\ 2 x + 3 y = 8 ， \end{array}$ 求 $m$ 的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：

甲同学：先解关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 7 y = 5 m - 3 ， \\ 2 x + 3 y = 8 ， \end{array}$ 再求 $m$ 的值．

乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求 $m$ 的值．

丙同学：先解方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 5 ， \\ 2 x + 3 y = 8 ， \end{array}$ ，再求 $m$ 的值．

⑵你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．请先选择思路，再解答题目．我选择 ▲ 同学的思路（填“甲”或“乙”或“丙”）．

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25. 用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为 $a$ ， $b$ 的正方形和长为 $b$ 宽为 $a$ 的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为： $(a + 2 b) (a + b) = a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ ．

(1)、图3可以解释为等式：；

(2)、要拼出一个两边长为 $a + b$ ， $3 a + b$ 的长方形，先回答需要以下三种纸片各多少块，再用画图或整式乘法验证你的结论；
块，块，块

(3)、如图4，大正方形的边长为 $m$ ，小正方形的边长为 $n$ ，若用 $x$ ， $y$ （ $x > y$ ）表示四个相同小长方形的两边长，以下关系式正确的是（填序号）．① $x + y = m$ ；② $2 x y = m^{2} - n^{2}$ ；③ $x^{2} - y^{2} = m n$ ；④ $x^{2} + y^{2} = m^{2} + n^{2}$ ．

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26. 小聪把一副三角尺 $A B C$ ， $D C E$ 按如图1的方式摆放，其中边 $B C$ ， $D C$ 在同一条直线上，将其抽象出如图2的几何图形后，过点 $A$ 作射线 $A P // D E$ ．

(1)、依题意将图2补充完整；

(2)、求 $∠ P A C$ 的度数．

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27. （概念学习）定义：对于一个三位的自然数 $n$ ，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数 $n$ 为“好数”．
例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且 $7 + 1 = 8$ ， $8 \div 4 = 2$ ，2为整数；

643不是“好数”，因为 $6 + 4 = 10$ ， $10 \div 3$ 的商不是整数．

(1)、（初步探究）
自然数312，675，981，802是“好数”的为；

(2)、在横线上填“真”或“假”：
①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是命题；

②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是命题；

(3)、（深入思考）
求同时满足下列条件的“好数”：

①百位数字比十位数字大5；

②百位数字与十位数字之和等于个位数字．

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28. 阅读下列材料：我们知道 $| x |$ 表示的是在数轴上数 $x$ 对应的点与原点的距离，即 $| x | = | x - 0 |$ ，也就是说， $| x |$ 对表示在数轴上数 $x$ 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为 $| x_{1} - x_{2} |$ 表示在数轴上数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 对应点之间的距离．
例1解方程 $| x | = 6$ ．

解：∵ $| x | = | x - 0 | = 6$ ，

∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为 $\pm 6$ ，即该方程的解为 $x = \pm 6$ ．

例2解不等式 $| x - 1 | > 2$ ．

解：如图，首先在数轴上找出 $| x - 1 | = 2$ 的解，即到1的距离为2的点对应的数为 $- 1$ ，3，则 $| x - 1 | > 2$ 的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为 $x < - 1$ 或 $x > 3$ ．

参考阅读材料，解答下列问题：

(1)、方程 $| x - 5 | = 3$ 的解为；

(2)、解不等式 $2 | x + 2 | + 1 < 9$ ；

(3)、若 $| x - 1 | + | x + 2 | = 3$ ，则 $x$ 的取值范围是；

(4)、若 $y = | x - 1 | - | x + 2 |$ ，则 $y$ 的取值范围是．

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最高气温（℃）	22	24	25	27
天数	2	3	1	1