山东省德州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $z = \frac{3 + 4 i}{i}$ ，求 $| z | =$ （）

A、5 B、13 C、15 D、25

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2. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (6 \sin 30 ° ， 2 \cos 120 °)$ ，则 $\sin α - 2 \cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{10}}{10}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 4) ， \vec{b} = (- 6 ， λ)$ ， $\vec{c} = (μ ， \frac{λ}{2})$ ，满足 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则 $μ =$ （）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、-3 D、 $- \frac{16}{3}$

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4. $α$ ， $β$ 是两个平面， $l$ ， $m$ 是两条直线，且 $l // α$ ， $m ⊥ β$ ，则下列命题中正确的是（）

A、若 $α // β$ ，则 $l // m$ B、若 $α // β$ ，则 $l ⊥ m$ C、若 $α ⊥ β$ ，则 $l // m$ D、若 $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$

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5. 已知 $\cos 31^{°} = a$ ，则 $\sin 239^{°} \cdot tan 211^{°}$ 的值为（）

A、 $\frac{1 - a^{2}}{a}$ B、 $\sqrt{1 - a^{2}}$ C、 $\frac{a^{2} - 1}{a}$ D、 $- \sqrt{1 - a^{2}}$

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6. 已知 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $A = 60 °$ ，且 $3 \sin B = 2 \sin C$ ，则 $a$ 为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{19}$

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点，则平面 $A_{1} E D_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成的锐二面角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的一动点且满足 $\vec{A P} = \frac{\sin C}{| \vec{A B} |} \vec{A B} + \frac{\sin B}{| \vec{A C} |} \vec{A C}$ ，则动点 $F$ 的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的（）

A、重心 B、内心 C、外心 D、垂心

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二、多选题

9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，由已知条件解三角形，其中有唯一解的是（）

A、 $b = 30 ， A = 45 ° ， C = 75 °$ B、 $a = 15 ， c = 14 ， B = 75 °$ C、 $a = 8 ， b = 16 ， A = 30^{\circ}$ D、 $a = 12 ， c = 15 ， A = 100^{\circ}$

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10. 下列选项中，与 $\sin 30 °$ 的值相等的有（）

A、 $1 - 2 \cos^{2} 75 °$ B、 $\sin 135 ° \cos 15 ° - \cos 45 ° \cos 75 °$ C、 $\frac{\cos 35 ° \sqrt{1 - \sin 20 °}}{\sqrt{2} cos 20 °}$ D、 $\tan 20 ° + \tan 25 ° + \tan 20 ° \tan 25 °$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (2 ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，将 $y = f (x)$ 图象上所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 $2$ 倍，得到函数 $y = g (x)$ 的图象．若 $y = g (x)$ 为偶函数，且最小正周期为 $π$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{24} ， 0)$ 对称 B、 $y = f (x)$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{24})$ 上单调递增 C、 $y = f (x)$ 的周期为 $\frac{π}{2}$ D、 $y = - g (x)$ 在 $(\frac{π}{12} ， \frac{5 π}{4})$ 上有 $3$ 个零点

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12. 已知正方体 $A B C D — A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，如图，点 $F ， G ， M$ 分别为 $C C_{1} ， B B_{1} ， B_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、平面 $A D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} M G$ B、直线 $A D_{1}$ 与直线 $A_{1} G$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、平面 $A F D_{1}$ 截正方体 $A B C D — A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面的面积为 $\frac{9}{8}$ D、点 $C_{1}$ 与点 $G$ 到平面 $A F D_{1}$ 的距离相等

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三、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $A = \frac{2 π}{3}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为．

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14. 已知两单位向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ ，满足 $< \vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}} > = 90 °$ ，且 $\vec{a} = 4 \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，则 $\cos < \vec{a} ， \vec{b} > =$ ．

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15. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象如图所示，则 $f (0) =$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，平面 $A B C$ 外一点 $P$ 满足 $P A = P B = P C = \sqrt{6}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积是．

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四、解答题

17. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知点 $A (1 ， 4) ， B (- 2 ， 3) ， C (2 ， - 1)$ .

(1)、求 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} ， | \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} |$ .

(2)、设实数t满足 $(\overset{⇀}{A B} - t \overset{⇀}{O C}) ⊥ \overset{⇀}{O C}$ 求t的值.

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18. 已知向量 $\vec{m} = (\sin ω x ， \sqrt{3} \cos 2 ω x)$ ）， $\vec{n} = (\frac{1}{2} \cos ω x ， \frac{1}{4})$ ，其中 $ω > 0$ ， $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，且函数 $y = f (x)$ 周期为 $π$ ．

(1)、若 $\frac{π}{2} < θ < π$ ，且 $\sin θ = \frac{3}{5}$ ，求 $f (θ)$ 的值；

(2)、方程 $f (x) - t = 0$ 在 $[0 ， \frac{7 π}{12}]$ 上有且仅有两个不同的实数解，求实数 $t$ 的取值范围．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $P A = P D$ ， $E ， F$ 分别为棱 $P C ， A B$ 的中点，且平面 $P A D$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若直线 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a cos B = (2 c - b) cos A$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若向量 $\vec{m} = (cos B ， 2 cos A) ， \vec{n} = (0 ， {sin}^{2} \frac{c}{2})$ ，求 $| \vec{m} - 2 \vec{n} |$ 的取值范围．

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $B E = 2 \sqrt{3}$ ， $E F / / A B$ ， $A B = 2 ， B C = E F = 1 ， A E = \sqrt{6 ，} D E = 3$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $G$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $F G / /$ 平面 $B E D$ ；

(2)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A E D$ ；

(3)、求点 $C$ 到平面 $B E D$ 的距离．

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22. 如图，某小区有一空地，要规划设计成矩形 $A B C D$ ， $A C = a$ 米，拟在 $Δ A C D$ 和 $Δ A C B$ 两个区域内各自内接一个正方形 $P Q M N$ 和正方形 $P_{1} Q_{1} M_{1} N_{1}$ 用作喷泉水池，并且这两个正方形恰好关于线段 $A C$ 的中点成中心对称，为了美观，矩形 $A B C D$ 区域除了喷泉水池其余都种植鲜花．设 $S_{1}$ 表示矩形 $A B C D$ 的面积， $S_{2}$ 表示两个喷泉水池的面积之和， $∠ A C B = θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ ，现将比值 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 称为“规划指数”，请解决以下问题：

(1)、试用 $θ$ 表示 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ；

(2)、当 $θ$ 变化时，求“规划指数”取得最小值时角 $θ$ 的大小．

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