山东省滨州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = (x - 3) + i$ 是（ $i$ 虚数单位， $x \in R$ ）为纯虚数，则在复平面内复数 $z_{1} = x - i$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若一个等腰直角三角形的直角边长为2，将该三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周，则旋转所形成的几何体的体积为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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3. 已知向量 $\vec{A B} =(1， \sqrt{3})$ ， $\vec{A C} =(\sqrt{3} ， 1)$ ，则 $∠ B A C =$ （）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $120^{\circ}$

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4. 某中学有高一学生1400人，高二学生1200人，高三学生1000人，为了解学生的学习情况，用比例分配的分层随机抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为 $n$ 的样本，已知从高一学生中抽取28人，则 $n$ 为（）

A、48 B、52 C、72 D、74

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5. 如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 15^{\circ}$ ， $∠ B D C = 135^{\circ}$ ， $C D = 20$ m，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，则塔高 $A B =$ （）

A、30m B、 $20 \sqrt{2}$ m C、 $20 \sqrt{3}$ m D、 $20 \sqrt{6}$ m

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6. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = \vec{2 D C}$ ， $\vec{A E} = \vec{E D}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{5}{6} \vec{A B}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{5}{6} \vec{A B}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{6} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A C} - \frac{1}{6} \vec{A B}$

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7. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A B = 4$ ， $P A = P B = P C = 2 \sqrt{2}$ ，则点 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 气象学意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均气温不低于 $22 ℃$ ”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据均为正整数）.
甲地：5个数据的中位数是24，众数为22；

乙地：5个数据中一个为32，总体平均数为26，方差为10.8；

丙地：5个数据的中位数是28，总体平均数为25.

则由此判断进入夏季的地区是（）

A、甲地，乙地 B、甲地，丙地 C、乙地，丙地 D、甲地，乙地，丙地

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9. 在空间中，下列命题中正确得是（）

A、平行于同一个平面的两个平面平行 B、平行于同一条直线的两个平面平行 C、平行于同一个平面的两条直线平行 D、垂直于同一个平面的两个平面平行

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二、多选题

10. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件 $M =$ “第一枚骰子出现的点数为奇数”，事件 $N =$ “第二枚骰子出现的点数为偶数”，则下列说法中正确的是（）

A、 $M$ 与 $N$ 相互独立 B、 $M$ 与 $N$ 互斥 C、 $M$ 与 $N$ 相互对立 D、 $P (M) = P (N) = \frac{1}{2}$

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11. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} = {\sqrt{6}}_{}$ ， $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $M$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点，则下列说法中正确的是（）

A、 $B_{1} M ⊥ C M$ B、平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ C、异面直线 $B C$ 与 $B_{1} M$ 所与成的角为直角 D、过点 $A_{1}$ 作平面 $M B_{1} C$ 的平行平面 $α$ ，若 $α$ 交侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 于线段 $P Q$ ，则 $P Q = \frac{\sqrt{10}}{2}$

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三、填空题

12. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， y)$ ，若 $\vec{a} // (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $y =$ ．

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13. 已知复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ ．

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14. 已知某人射击每次击中目标概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数随机数，指定 $0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ 表示击中目标， $6 ， 7 ， 8 ， 9$ 表示未击中目标.因为射击3次，故每3个随机数为一组，代表3次射击的结果，经随机模拟产生了20组整数随机数：
162 966 151 525 271 932 592 408 569 683

471 257 333 027 554 488 730 163 637 079

据此随机模拟试验，其中3次射击至少2次击中目标的概率估计值为．

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15. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱于底面垂直的四棱锥称之为阳马，若四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ，二面角 $P - B C - A$ 为 $60^{\circ}$ ，则 $P A =$ ．四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积为．

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四、解答题

16. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ，$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ ；

(2)、若 $3 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b} (λ \in R)$ 垂直，求 $λ$ 的值.

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17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对面分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $\sqrt{3} b \cos C = c \sin B$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 5 ， c = 7$ ，求 $b$ 及 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点，且 $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ .

(1)、求证： $B D_{1} //$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - D$ 的正切值.

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19. 某市举办徒步（健步）示范队评选活动，其宗旨是，激发大众健身热气，展现徒步（健步）队伍风采.某小区计划按年龄组队，现从参与活动的居民中随机抽取40人，将他们的年龄分为7段： $[10 ， 20] ， [20 ， 30] ， [30 ， 40] ，$ $[40 ， 50] ， [50 ， 60] ， [60 ， 70] ， [70 ， 80] ，$ 得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、试求这40人年龄的平均数和85%分位数的估计值（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、已知该小区年龄在 $[10 ， 80]$ 内的总人数为2000，试估计该小区年龄不超过岁的成年人（18周岁以上（含18周岁）为成年人）的人数.

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20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上不同于 $A ， B$ 的点，直线 $V C$ 垂直于 $⊙ O$ 所在平面， $D ， E ， F$ 分别是 $V A ， V B ， V C$ 的中点.

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面 $V A C$ ；

(2)、若 $A C = B C = V C = 2$ ，求直线 $B D$ 与平面 $V A C$ 所成的角的正弦值.

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21. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜对的概率是 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率是 $\frac{2}{3}$ .每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响，“星队”共参加两轮猜成语活动.

(1)、求“星队”在第一轮活动中只猜对1个成语的概率；

(2)、求“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率.

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