辽宁省沈阳市级重点高中联合体2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. $i$ 是虚数单位，若 $\frac{m + 2 i}{2 + i}$ 是纯虚数，则实数 m=（）

A、1 B、-1 C、4 D、-4

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2. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 若 $\cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若 $b = 2 a \cdot \cos C$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，M，N分别为图象上相邻的最高点与最低点，且线段MN的长为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $f (\frac{2021}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为 $2 \sqrt{6}$ ，则侧面与底面所成的二面角的大小为（）

A、60° B、45° C、30° D、75°

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7. 已知 $△ A B C$ 的三个内角为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \sin A ， \sin B)$ ， $\vec{n} = (\cos B ， \sqrt{3} \cos A)$ .若 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 1 + \cos (A + B)$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 已知三棱锥 $S - A B C$ 的四个顶点都在球O的表面上，且 $S A ⊥ A C$ ， $S A ⊥ A B$ ，若已知 $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $S A = 6$ ，则球O的体积是（）

A、 $\frac{100 π}{3}$ B、 $\frac{200 π}{3}$ C、 $\frac{52 \sqrt{13} π}{3}$ D、 $\frac{52 π}{3}$

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二、多选题

9. 已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A、 $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = 0$ B、复数 $z = 3 - i$ 的虚部为 $- i$ C、若 $z = {(1 + 2 i)}^{2}$ ，则复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于第二象限 D、已知复数z满足 $| z - 1 | = | z + 1 |$ ，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线

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10. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，能推出 $A P ⊥ B C$ 的条件是（）

A、 $A P ⊥ P B$ ， $B C ⊥ P B$ B、 $A P ⊥ P B$ ， $A P ⊥ P C$ C、平面 $B C P ⊥$ 平面 $P A C$ ， $B C ⊥ P C$ D、 $A P ⊥$ 平面 $P B C$

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11. 下列命题中是真命题的有（）

A、在 $△ A B C$ 中， $A$ ， $C$ 均为锐角，且 $\sin A > \cos C$ ，则 $B$ 为锐角 B、在 $△ A B C$ 中，若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、在 $△ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $\sin A > \sin B$ ”的充要条件 D、在 $△ A B C$ 中，若 $\cos A = \frac{5}{13}$ ， $\sin B = \frac{4}{5}$ 则 $\cos C$ 的值为 $\frac{33}{65}$ 或 $\frac{63}{65}$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点E，F，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、AC ⊥BE B、EF//平面ABCD C、△AEF的面积与△BEF面积相等 D、三棱锥A-BEF的体积为定值

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (2 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (1 ， \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为.

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14. $\sqrt{1 + 2 \sin (π - 3) \cdot \cos (π + 3)}$ 化简的结果是 .

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15. 我国古代数学中提到一种几何体叫做“刍甍”，刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也.即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体（如图）：矩形 $A B C D$ ，棱 $E F // A B$ ， $A B = 4$ ， $E F = 2$ ， $△ A D E$ 和 $△ B C F$ 都是边长2的等边三角形，则此几何体的表面积为.

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16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=60°，b+c=6，且△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ，则△ABC的内切圆的半径为.

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四、解答题

17. 在△ABC中，内角A， B， C所对的边分别是a， b， c. 已知 $b \sin A = 3 c \sin B$ ， a = 3， $\cos B = \frac{2}{3}$ .
(Ⅰ) 求b的值；

(Ⅱ) 求 $\sin (2 B - \frac{π}{3})$ 的值.

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18. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

(1)、求证：PA⊥BD；

(2)、求证：平面BDE⊥平面PAC；

(3)、当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．

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19. 已知函数 $f (x) = 4 \cos x \sin (x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上的值域．

（Ⅱ）在 $△ A B C$ 中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角， $f (C) = \sqrt{3}$ ，且 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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20. 在① $x = - \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴，② $\frac{π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点，③函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上单调递增，且 $b - a$ 的最大值为 $\frac{π}{2}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数 $f (x) = 2 \sin ω x \cos (ω x - \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} (0 < ω < 2)$ ， ▲ ，求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上的单调递减区间．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 是正三角形，且与底面 $A B C D$ 垂直，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $N$ 是 $P B$ 的中点， $E$ 为 $A D$ 的中点，过 $A$ ， $D$ ， $N$ 的平面交 $P C$ 于点 $M$ .

求证：

(1)、 $E N //$ 平面 $P D C$ ；

(2)、 $B C ⊥$ 平面 $P E B$ ；

(3)、平面 $P B C ⊥$ 平面 $A D M N$ .

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22. 已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a ， b)$ 为函数 $f (x)$ 的相伴特征向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的相伴函数.

(1)、设函数 $g (x) = \sin (x + \frac{5 π}{6}) - \sin (\frac{3 π}{2} - x)$ ，试求 $g (x)$ 的相伴特征向量 $\vec{O M}$ ；

(2)、记向量 $\vec{O N} = (1 ， \sqrt{3})$ 的相伴函数为 $f (x)$ ，求当 $f (x) = \frac{8}{5}$ 且 $x \in (- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ ， $\sin x$ 的值；

(3)、已知 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (2 ， 6)$ ， $\vec{O T} = (- \sqrt{3} ， 1)$ 为 $h (x) = m \sin (x - \frac{π}{6})$ 的相伴特征向量， $φ (x) = h (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ，请问在 $y = φ (x)$ 的图象上是否存在一点P，使得 $\vec{A P} ⊥ \vec{B P}$ .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

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