辽宁省大连市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知角 $α$ 的终边过点 $(3 ， 4)$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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3. 已知复数 $z_{1} = 3 - b i ， z_{2} = 1 - 2 i$ ，若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是实数，则实数 $b$ 的值为（）

A、0 B、 $- \frac{3}{2}$ C、6 D、-6

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4. 设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，定义 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的“向量积”： $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，它的模 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin θ$ ，若 $\vec{a} = (- \sqrt{3} ， - 1) ， \vec{b} = (1 ， \sqrt{3})$ ，则 $| \vec{a} \times \vec{b} |$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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5. 在复平面内，复数 $6 + 5 i$ ， $- 2 + 3 i$ 对应的点分别为 $A$ ， $B$ ，若 $C$ 为线段 $A B$ 的中点，则点 $C$ 对应的复数是（）

A、 $4 + 8 i$ B、 $8 + 2 i$ C、 $2 + 4 i$ D、 $4 + i$

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6. 如图，从地面上 $C$ ， $D$ 两点望山顶 $A$ ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知 $C D = 100$ 米，点 $C$ 位于 $B D$ 上，则山高 $A B$ 等于（）

A、 $50 \sqrt{2}$ 米 B、 $50 \sqrt{3}$ 米 C、100米 D、 $50 (\sqrt{3} + 1)$ 米

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\sin C}{c}$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等边三角形 B、有一内角是 $30^{\circ}$ 的直角三角形 C、等腰直角三角形 D、有一内角是 $30^{\circ}$ 的等腰三角形

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8. 刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的地方来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积，刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与立方体内切球的体积之比应为 $\frac{4}{π}$ .后人导出了“牟合方盖”的 $\frac{1}{8}$ 体积计算公式，即 $\frac{1}{8} V_{牟} = r^{3} - V_{方盖差}$ ， $r$ 为球的半径，也即正方体的棱长均为 $2 r$ ，从而计算出 $V_{球} = \frac{4}{3} π r^{3}$ ，记所有棱长都为 $r$ 的正四棱锥的体积为 $V_{正}$ ，棱长为 $2 r$ 的正方形的方盖差为 $V_{方盖差}$ ，则 $\frac{V_{方盖差}}{V_{正}}$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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二、多选题

9. 设 $z = 1 + i$ ，则（）

A、 $z$ 的虚部是1 B、 $\bar{z} = 1 - i$ C、 $z^{2} > 0$ D、 $z \bar{z} = {| z |}^{2}$

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10. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 1$ B、 $ω = 2$ C、 $φ = \frac{π}{3}$ D、 $φ = \frac{π}{6}$

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11. 对于两条不同直线 $m, n$ 和两个不同平面 $α, β$ ，下列选项中正确的为（）

A、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m / / α, n / / β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ 或 $m / / n$ C、若 $m / / α, α / / β$ ，则 $m / / β$ 或 $m \subset β$ D、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ 或 $n \subset α$

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三、填空题

12. 已知 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\cos 2 α$ 的值为.

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13. 在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 分别是角 $A$ 、 $B$ 的对边， $a = 1$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $A = 30^{\circ}$ ，则角 $B$ 为.

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14. 甲烷是一种有机化合物，分子式是 ${CH}_{4}$ ，它作为燃料广泛应用与民用和工业中，近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加，深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题，甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同，键角相等，请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间的夹角余弦值.

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15. 若函数 $f (x) = 4 \sin ω x \sin^{2} (\frac{ω x}{2} + \frac{π}{4}) + \cos 2 ω x - 1 (ω > 0)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 内有且仅有一个最大值点，则 $ω$ 的取值范围是.

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四、解答题

16. 在① $b \sin B + c \sin C = (\frac{2 \sqrt{3}}{3} b \sin C + a) \sin A$ ；② $\cos^{2} C + \sin B \sin C = \sin^{2} B + \cos^{2} A$ ；③ $2 b = 2 a \cos C + c$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，______．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 10$ ， $△ A B C$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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17. 如图所示，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B = A A_{1}$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A_{1} C_{1}$ ， $B_{1} C$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求 $E F$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的余弦值.

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18. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 的底面中， $B C // A D$ ， $∠ B A D = 90^{\circ}$ ， $A D = 3 B C$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、在棱 $P D$ 上是否存在点 $E$ ，使 $C E //$ 平面 $P A B$ ，若存在，求出 $\frac{P E}{E D}$ 的值；如若不存在，请说明理由.

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19. 已知点 $O$ 是锐角 $△ A B C$ 的外心， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边， $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ，

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(3)、若 $\frac{\cos B}{\sin C} \vec{A B} + \frac{\cos C}{\sin B} \vec{A C} = x \vec{O A}$ ，求实数 $x$ 的值.

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20. 如图（1）所示，中心为 $O$ 边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ ， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别为 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 上的点， $\frac{A E}{E B} = \frac{A H}{H D} = \frac{C G}{G D} = \frac{C F}{F B} = 2$ ，如图（2）所示，把 $△ A E H$ 和 $△ C F G$ 分别沿 $E H$ 、 $F G$ 折起，使二面角 $C - F G - O$ 的大小为 $60^{\circ}$ ，二面角 $A - E H - O$ 的大小为 $120^{\circ}$ .

（Ⅰ）判断多面体 $C F G A E H$ 是否为三棱柱；（只需回答结论）

（Ⅱ）证明： $C O ⊥$ 平面 $E F G H$ ；

（Ⅲ）求多面体 $A E B F C G D H$ 的体积.

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21. 函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin ω x \cdot \cos ω x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos^{2} ω x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $2 π$ .

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、函数 $f (x)$ 的图象沿 $x$ 轴向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，令 $F (x) = {\begin{array}{l} g (x) ， 0 < x \leq \frac{π}{2} \\ - x + π ， x > \frac{π}{2} \end{array}$ ，若函数 $y = F (x) - a$ 有两个零点 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .
（Ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）证明： $x_{1} + x_{2} > π$ .

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