江西省上饶市2020-2021学年高一下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系xOy中，角 $θ$ 以 $O x$ 为始边，终边与单位圆交于点 $(\frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $\tan (π - θ)$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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2. $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3$ ， $a_{7} + a_{9} = 10$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、9 B、16 C、20 D、27

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3. 若 $\cos (\frac{π}{6} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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4. 已知不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则不等式 $2 x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 1 < x < \frac{1}{2}}$ B、 ${x | x < - 1 或 x > \frac{1}{2}}$ C、 ${x | - 2 < x < 1}$ D、 ${x | x < - 2 或 x > 1}$

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5. 若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量 $\vec{a} = (1 ， 3) ， \vec{b} = (- 3 ， - 1)$ ，即为“等模整向量”，那么模为 $5 \sqrt{2}$ 的“等模整向量”有（）

A、4个 B、6个 C、8个 D、12个

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6. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a - b > a b$ B、 $a - b < a b$ C、 $b - a > a b$ D、 $b - a < a b$

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7. 两个圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ 与 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 m x + 4 m y + 5 m^{2} - 20 = 0$ 的公切线恰好有2条，则 $m$ 的取值范围是（）．

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 2, 0) \cup (2, 4)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$

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8. 将函数 $y = \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ 的图形向左平移 $φ$ $(φ > 0)$ 个单位后得到的图象关于y轴对称，则正数 $φ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{12}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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9. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长，若 $c^{2} = {(a - b)}^{2} + 5$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、3 B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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10. 如图 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{2} ， A C = 2 A B = 2 ， ∠ B A C$ 的平分线交 $△ A B C$ 的外接圆于点 $D$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11. 已知 $a \in Z$ ，关于 $x$ 的一元二次不等式 $x^{2} - 6 x + a \leq 0$ 的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的 $a$ 的值之和是（）

A、13 B、15 C、21 D、26

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} + {(- 1)}^{n + 1} a_{n} = 3 n - 1$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则（）

A、 $S_{2021}$ 不是定值， $a_{2021} - a_{1}$ 是定值 B、 $S_{2021}$ 不是定值， $a_{2021} - a_{1}$ 不是定值 C、 $S_{2021}$ 是定值， $a_{2021} - a_{1}$ 不是定值 D、 $S_{2021}$ 是定值， $a_{2021} - a_{1}$ 是定值

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二、填空题

13. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (0 ， 1)$ ， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，则实数 $k =$ ．

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14. 已知直线 $x - \sqrt{3} y + 8 = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相交于 $A, B$ 两点．若 $| A B | = 6$ ，则 $r$ 的值为．

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若不等式 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{m}{2 a + b}$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为．

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16. 已知函数 $f (x) = (\sin x + \cos x) | \sin x - \cos x |$ ，给出下列结论：
① $f (x)$ 是周期函数；

② $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上是增函数；

③若 $| f (x_{1}) | + | f (x_{2}) | = 2$ ，则 $x_{1} + x_{2} = \frac{k π}{2} (k \in Z)$ ；

④函数 $g (x) = f (x) + 1$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上有且仅有1个零点．

其中正确结论的序号是．（将你认为正确的结论序号都填上）

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三、解答题

17.

(1)、求值： $\frac{1}{\sin 10 °} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10 °}$ ；

(2)、化简： $\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2 θ} - \sqrt{1 - \sin 2 θ} (\frac{π}{2} < θ < π)$ .

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18. 已知关于 $x$ 的不等式 $k x^{2} - 2 x + 6 k < 0$ .

(1)、若不等式的解集为 $(1 ， 6)$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $k > 0$ ，且不等式对 $\forall x \in (2 ， 4)$ 都成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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19. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，且 $2^{n} a_{1} + 2^{n - 1} a_{2} + \dots \dots + 2 a_{n} = n a_{n + 1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{(\log_{2} a_{n}) \cdot (\log_{2} a_{n + 2})}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，求 $k$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，求 $| 2 \vec{c} |$ 的最大值.

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21. 在 $△ A B C$ 中，设角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{\sin A - \sin B}{\sin C} = \frac{a - c}{a + b}$ .

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，点A在直线 $l ： y = 7 x + 4$ 上，B（7，3），以线段AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l相交于另一个点D，AB⊥CD.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若点A不在第一象限内，圆C与x轴的正半轴的交点为P，过点P作两条直线分别交圆于M，N两点，且两直线的斜率之积为－5，试判断直线MN是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

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