江苏省盐城市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 5)$ B、 $(0 ， 5]$ C、 $(5 ， + \infty)$ D、 $[5 ， + \infty)$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} - 5 x - 6 < 0$ ”是“ $x < 6$ ”的（）条件.

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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3. 若等比数列 ${a_{n}}$ 单调递减，且 $a_{2} + a_{4} = 30$ ， $a_{2} \cdot a_{4} = 144$ ，则公比 $q =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、-2

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4. ${(x^{2} + 2 x)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{9}$ 项的系数为（）

A、80 B、2 C、16 D、10

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5. 某校拟从5名班主任及5名班长(3男2女)中选派1名班主任和3名班长去参加“党史主题活动”，若要求2名女班长中至少有1人参加，则不同的安排方案有（）种.

A、9 B、15 C、60 D、45

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6. 离散型随机变量 $X$ 的取值为0，1，2，若 $P (X = 0) = \frac{1}{4}$ ， $E (X) = 1$ ，则 $D (2 X - 1) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、2

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7. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，若点 $P$ 在线段 $B D$ 上，则二面角 $P - B C_{1} - C$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ B、 $- \frac{\sqrt{30}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$

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8. 已知 $a + 2^{a} = 2$ ， $b + 3^{b} = 2$ ，则 $b \lg a$ 与 $a \lg b$ 的大小关系是（）

A、 $b \lg a < a \lg b$ B、 $b \lg a = a \lg b$ C、 $b \lg a > a \lg b$ D、不确定

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二、多选题

9. 由点列 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{n} ， y_{n})$ 得到线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，对应的相关系数为 $r$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $| r |$ 越大，则 $y$ 与 $x$ 的线性相关性越强 B、 $0 < r < 1$ C、若 $\hat{b} > 0$ ，则 ${\hat{y}}_{i}$ 随 $x_{i}$ 的增大而增大 D、 $r \hat{b} \geq 0$

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10. 已知 $z = \frac{3 - 4 i}{i}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $z$ 的实部为4 B、 $z$ 在复平面上对应的点在第三条象限 C、 $z \bar{z} = 25$ D、 $| z | = 25$

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 8 y$ ，若过焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $x_{1} x_{2} = - 16$ B、 $y_{1} y_{2} = 16$ C、 $\vec{F A} \cdot \vec{F B}$ 的最大值为-16 D、 $| \vec{O A} | \cdot | \vec{O B} | > 12$

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12. 已知红色箱子内有6个红球､2个黄球，黄色箱子内有2个红球､6个黄球，所有球除颜色外完全相同，现从这两个箱子中随机摸球，具体摸球规则如下：第一次从黄色箱子中摸出一个球再放回去，第2次从“与第1次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，…，第 $n + 1$ 次从“与第 $n$ 次摸出的球颜色相同的箱子”内摸出一个球然后再放回去，若记第 $n$ 次摸出的球是黄球的概率为 $P_{n}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $P_{2} = \frac{5}{8}$ B、 $P_{n + 1} = \frac{1}{2} P_{n} + \frac{1}{4}$ C、 $P_{n + 1} = \frac{1}{4} P_{n} + \frac{7}{16}$ D、 $P_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{n + 1}}$

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三、填空题

13. 已知随机变量 $X ~ N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (X \geq 0) = 0.75$ ，则 $P (X > 2) =$ .

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14. 若 $y > - 2$ 且 $x (y + 2) = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值为.

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15. 设 $A$ ， $B$ 分别为椭圆： $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左､右顶点，动直线 $l$ 经过 $x$ 轴上一定点 $H$ ，交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点( $M$ ， $N$ 分别在 $x$ 轴上､下方)，记直线 $A M$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ､ $k_{2}$ ，若 $k_{2} = 4 k_{1}$ ，则点 $H$ 的坐标为.

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16. 已知 $f (x) = \frac{e^{a x}}{x}$ ( $x > 0$ ).当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 的最小值是；若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 设 $f (x) = {(2 x - 1)}^{4} + {(2 x - 1)}^{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间.

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ( $d \in N^{*}$ )，已知 $a_{n} a_{n + 2} > a_{n + 1}^{2} - 2$ .

(1)、求 $d$ ；

(2)、若 $a_{1} = 1$ ，求证： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i} a_{i + 1}} < 1$ .

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19. 2020年11月15日，习近平总书记在南京市主持召开全面推动长江经济带发展座谈会，要求使长江经济带成为我国生态优先绿色发展主战场，某研究所从长江上游区域和长江下游区域分别任意选取100个观测点进行水质检测，并将水质等级检测结果按

[5 ， 6)

，

[6 ， 7)

，

[7 ， 8)

，

[8 ， 9)

，

[9 ， 10]

分组进行统计，如果水质等级达到7，就认为该检测点水质“达标”，否则就认为“不达标”，已知上游区域被检测的观测点中，水质“达标”的有75个，不达标的有25个，对下游区域的检测结果统计得如下频率分布直方图，其中

a

，

b

，

c

成等差数列，且

2 a = b

(1)、请完成下面的

2 \times 2

列联表，并判断：能否有97.5%的把握认为长江水质等级是否“达标”与区域有关？

	水质“达标”检测点数	水质“不达标”检测点数	总计
长江上游区域	75	25	100
长江下游区域			100
总计			200

(2)、为进一步调研长江下游区域的水质情况，若以样本频率估计总体概率，再从整个长江下游区城中随机抽取3个观测点，记其中水质“达标”的个数为随机变量

ξ

，求

ξ

的概率分布和数学期望.

参考公式：独立性检验统计量 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

临界值表：

P（x²≥x₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
x₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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20. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A P = A B = A C = 2$ ， $∠ B A C = ∠ B A P = \frac{2 π}{3}$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $C A B$ .

(1)、求异面直线 $P A$ 与 $B C$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，点 $M$ 满足 $k_{1} \cdot k_{2} = \frac{4}{3}$ (其中 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 分别表示直线 $M A$ ， $M B$ 的斜率).

(1)、求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $P (2 ， 2)$ ，点 $D$ ， $E$ 在曲线 $C$ 上，直线 $P D$ ， $P E$ 的斜率互为相反数，线段 $D E$ 的中点为 $Q$ ，求直线 $O Q$ 的斜率.

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22. 设函数 $f (x) = e^{m x} - \frac{1 + x}{1 - x}$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若f(x)在 $(- 1 ， 1)$ 上有且只有一个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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