河南省开封市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ， y ， z}$ ， $C = {B | B \subseteq A}$ ，则 $A \cap C =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x}$ C、 ${x ， y}$ D、 ${x ， y ， z}$

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2. 设命题 $p ： \exists n \in N$ ， $n^{2} > 2 n + 5$ ，则 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists n \notin N$ ， $n^{2} > 2 n + 5$ B、 $\exists n \in N$ ， $n^{2} \leq 2 n + 5$ C、 $\forall n \in N$ ， $n^{2} > 2 n + 5$ D、 $\forall n \in N$ ， $n^{2} \leq 2 n + 5$

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3. 若 $z (1 + i^{2019}) = 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 2 + 2 i$

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4. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为 $1$ 的等差数列，且 $a_{2}^{2} = a_{1} a_{5}$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、2

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5. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点， $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $\tan ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{3}{4}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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6. 劳动力调查是一项抽样调查2021年的劳动力调查以第七次人口普查的最新数据为基础抽取相关住户进入样本，并且采用样本轮换模式．劳动力调查的轮换是按照“ $2 - 10 - 2$ ”模式进行，即一个住户连续2个月接受调查，在接下来的10个月中不接受调查，然后再接受连续2个月的调查，经历四次调查之后退出样本．调查进行时保持每月进入样本接受第一次调查的新住户数量相同．若从第 $k$ 个月开始，每个月都有 $\frac{1}{4}$ 的样本接受第一次调查， $\frac{1}{4}$ 的样本接受第二次调查， $\frac{1}{4}$ 的样本接受第三次调查， $\frac{1}{4}$ 的样本接受第四次调查，则 $k$ 的值为（）

A、12 B、13 C、14 D、15

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7. 已知函数 $y = f (x) ， x \in R$ 且 $\frac{f (0.5 n)}{f (0.5 (n - 1))} = \sqrt{2} ， n \in Z$ ，若 $f (6) = 128$ ，则 $f (- 6) =$ （）

A、 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{1}{64}$ C、64 D、-128

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8. 下图程序框图的算法思想源于《几何原本》中的辗转相除法，又叫欧几里得算法，框图中的算术运算符 $M O D$ 表示取余数，如 $a M O D b$ 表示 $a$ 除以 $b$ 的余数．若输入 $m = 1813$ ， $n = 333$ ，则输出 $m =$ （）

A、148 B、143 C、37 D、33

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9. 设 $ω > 0$ ，将函数 $y = \sin (ω x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，所得图象与原图象重合，则 $ω$ 的最小值为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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10. 已知直线 $l$ 经过点 $O (0 ， 0)$ ，且点 $A (0 ， 4)$ ， $B (2 ， 0)$ 到 $l$ 的距离相等，则 $l$ 被经过 $O$ ， $A$ ， $B$ 三点的圆所截得的弦长为（）

A、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ 或 $2 \sqrt{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ 或 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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11. 丹麦数学家琴生（Jensen）是 $19$ 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 在 $(a ， b)$ 上的导函数为 $f^{″} (x)$ ，若在 $(a ， b)$ 上 $f^{″} (x) > 0$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 上为“凹函数”．已知 $f (x) = e^{x - 1} + x \ln x - t x^{2}$ 在 $(1 ， 2)$ 上为“凹函数”则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(- \infty ， \frac{e}{2} + \frac{1}{4})$ D、 $(- \infty ， e + \frac{1}{2})$

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12. 如图，平面 $α / /$ 平面 $β$ ， $A$ ， $C$ 是 $α$ 内不同的两点， $B$ ， $D$ 是内不同的两点， $E$ ， $F$ 分别是线段 $A B$ ， $C D$ 的中点，则下列所有正确判断的编号是（）
①当 $A B$ ， $C D$ 共面时，直线 $A C / / B D$

②当 $| A B | = 2 | C D |$ 时， $E$ ， $F$ 两点不可能重合

③当 $A B$ ， $C D$ 是异面直线时，直线 $E F$ 一定与 $α$ 平行

④可能存在直线 $E F$ 与 $α$ 垂直

A、①③ B、②④ C、①② D、③④

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二、填空题

13. $\sin^{2} \frac{π}{12} - \cos^{2} \frac{π}{12}$ =.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (m ， - 4)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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15. 在数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} - a_{n - 1} = 2 n (n \geq 2 ， n \in N)$ ，则 $a_{99} =$ ．

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过点 $F$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 8$ ．直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别过点 $A$ ， $B$ ，且与 $x$ 轴平行，在直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 上分别取点 $M$ ， $N$ ，（ $M$ ， $N$ 分别在点 $A$ ， $B$ 的右侧），分别作 $∠ A B N$ 和 $∠ B A M$ 的角平分线相交于点 $P$ ，则 $△ P A B$ 的面积为．

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三、解答题

17. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \sin B = b \cos A = 1$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = 2$ ，求 $a$ ．

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18. 如图，在直四棱柱 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} - A B C D$ 中， $A^{'} C ⊥ B D$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、已知 $A B = B C = A^{'} A = 2$ ， $A D = C D = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，求直线 $A^{'} C$ 与平面 $A^{'} B D$ 所成角的正弦值．

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19. 某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元．现统计该蔬菜在甲、乙两市场以往100个销售周期的市场需求量，制成如下频数分布条形图．

以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进 $n$ 吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以 $X$ （单位：吨）表示下个销售周期两市场的总需求量， $T$ （单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润．

(1)、当 $n = 19$ 时，求 $T$ 与 $X$ 的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；

(2)、以销售利润的期望作为决策的依据，判断 $n = 17$ 与 $n = 18$ 应选用哪一个．

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20. 椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆内壁反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ．从 $F_{1}$ 发出的一条光线，经椭圆上 $M$ ， $N$ 两点（均不与 $A$ ， $B$ 重合）各反射一次后，又回到点 $F_{1}$ ，这个过程中光线所经过的总路程为8．

(1)、求椭圆 $C$ 的长轴长；

(2)、若椭圆 $C$ 的焦距为2，直线 $N B$ 与直线 $x = 4$ 交于点 $P$ ，证明 $A$ ， $M$ ， $P$ 三点共线．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{1 - x}{x^{a}} ， a > 0$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的极小值；

(2)、当 $x > 1$ 时，不等式 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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22. 已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ ， θ \in [0 ， \frac{π}{4}]$ ，点 $M (ρ_{0} ， θ_{0})$ ， $A (ρ_{1} ， 0)$ ， $B (ρ_{2} ， \frac{π}{6})$ 都在曲线 $C$ 上．

(1)、当 $θ_{0} = \frac{π}{6}$ 时，求直线 $A M$ 的极坐标方程；

(2)、以极点 $O$ 为坐标原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立平面直角坐标系．当 $M$ 在 $C$ 上运动时，求 $\vec{O M} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围．

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23. 已知 $f (x) = | x + 1 | - | x - 2 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 1$ 的解集；

(2)、若 $n > 0$ ，求证： $f (x) \leq n + \frac{4}{n^{2}}$ ．

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