贵州省威宁县2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{1-3i}{i}$ （ $i$ 为虚数单位）的共轭复数为（）

A、 $- 1 - 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $- 3 - i$ D、 $- 3 + i$

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2. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，且 $f^{'} (1) = - 2021$ ，求 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{2021 Δ x} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2021}$ C、 $- 2021$ D、0

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3. $\int_{1}^{e} (1 + \frac{2}{x}) d x$ 的值为（）

A、 $e - 2$ B、 $e$ C、 $e + 1$ D、 $e - 1$

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4. 若 $(x - a) {(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为20，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (6 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $P (X > 3) = 0.85$ ，则 $P (3 < X < 9) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.7 D、0.8

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6. 随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（）

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

A、100 B、150 C、250 D、300

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7. 魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术注》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数 $\frac{12}{1 + \frac{12}{1 + \dots}}$ 中的“…”代表无限次重复，设 $x = \frac{12}{1 + \frac{12}{1 + \dots}}$ ，则可利用方程 $x = \frac{12}{1 + x}$ 求得 $x$ ，类似地可得正数 $\sqrt{6 \sqrt{6 \sqrt{6 \dots}}}$ 等于（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8. 2020年以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月5G手机的实际销量，如下表所示：

月份	2021年1月	2021年2月	2021年3月	2021年4月	2021年5月
月份编号 $x$	1	2	3	4	5
销量 $y$ /部	50	96	$a$	185	227

若 $y$ 与 $x$ 线性相关，且求得线性回归方程为 $\hat{y} = 45 x + 5$ ，则下列结论错误的是（）

A、

a = 142

B、

y

与

x

正相关 C、

y

与

x

的相关系数为负数 D、预计2021年7月份该手机商城的5G手机销量约为320部

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9. 甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下（单位：分）．
甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，88

乙组：86，84，85，89，79，80，91，89，79，74

现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件 $A$ ；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件 $B$ ，则 $P (A B)$ ， $P (A | B)$ 的值分别是（）

A、 $\frac{3}{10}$ ， $\frac{6}{11}$ B、 $\frac{3}{10}$ ， $\frac{5}{11}$ C、 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{6}{11}$ D、 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{5}{11}$

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10. 为发挥我市“示范性高中”的辐射带动作用，促进教育的均衡发展，共享优质教育资源．现分派我市“示范性高中”的5名教师到A，B，C三所薄弱学校支教，开展送教下乡活动，每所学校至少分派一人，其中教师甲不能到A学校，则不同分派方案的种数是（）

A、150 B、136 C、124 D、100

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11. 2020年5月，修订后的《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，某校为宣传垃圾分类知识，组织高中三个年级的学生进行垃圾分类知识测试，下表记录了各年级同学参与测试的优秀率（即测试达到优秀的人数占该年级总人数的比例）．

年级

高一

高二

高三

垃圾分类知识测试优秀率

55%

75%

65%

假设从高 $k (k = 1 ， 2 ， 3)$ 年级中各随机选取一名同学分别进行考察，用“ $ξ_{k} = 1$ ”表示该同学的测试成绩达到优秀，“ $ξ_{k} = 0$ ”表示该同学的测试成绩没有达到优秀． $D ξ_{k}$ 表示测试成绩的方差，表示则下列判断正确的是（）

A、 $D ξ_{2} > D ξ_{3} > D ξ_{1}$ B、 $D ξ_{2} > D ξ_{1} > D ξ_{3}$ C、 $D ξ_{1} > D ξ_{2} > D ξ_{3}$ D、 $D ξ_{1} > D ξ_{3} > D ξ_{2}$

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12. 设函数 $f^{'} (x)$ 是奇函数 $f (x) (x \neq 0)$ 的导函数， $f (- 1) = - 2$ ．当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) > 2$ ，则使得 $f (x) > 2 x$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$

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二、填空题

13. 用0，2，4，6，8这五个数字，可以组成个三位正整数．

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14. 请写出与曲线 $f (x) = x^{3} + 1$ 在点 $(0 ， 1)$ 处具有相同切线的一个函数（非常数函数）的解析式为 $g (x) =$ ．

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15. 我国抗疫期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，某同学学习利用“快影”软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作，该小视频视为合格作品．该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率为（用数字作答）．

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16. 已知下列等式成立：
$\sqrt[3]{2 + \frac{2}{7}} = 2 \sqrt[3]{\frac{2}{7}}$ ，

$\sqrt[3]{3 + \frac{3}{26}} = 3 \sqrt[3]{\frac{3}{26}}$ ，

$\sqrt[3]{4 + \frac{4}{63}} = 4 \sqrt[3]{\frac{4}{63}}$ ，

……

由此请你猜测等式 $\sqrt[3]{9 + \frac{m}{n}} = 9 \sqrt[3]{\frac{m}{n}}$ （ $m$ ， $n$ 均为正整数）中 $\frac{n + 1}{m}$ 为．

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三、解答题

17. 已知复数 $z = (1 - a i) (1 - 2 i) + 1 + 2 i$ ( $a \in R$ )．

(1)、若 $z$ 在复平面中所对应的点在直线 $x - y = 0$ 上，求 $a$ 的值；

(2)、求 $| z - 1 |$ 的取值范围．

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18. 若 $C_{20}^{2 n + 6} = C_{20}^{18 - n} (n \in N^{*})$ ，且 ${(3 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ；

(1)、求n；

(2)、求 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - \dots + {(- 1)}^{n} a_{n}$ ．

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19. 2021年4月20日我校高三学生参加了高考体检，为了解我校高三学生中男生的体重

y

（单位：kg）与身高

x

（单位：

cm

）是否存在较好的线性关系，体检机构搜集了7位我校男生的数据，得到如下表格：

序号	1	2	3	4	5	6	7
身高 $x (cm)$	166	173	185	183	178	180	174
体重 $y (kg)$	57	62	78	75	71	67	59

根据表中数据计算得到 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 1.15 x + \hat{a}$ ．

(1)、求

\hat{a}

；

(2)、已知

R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}

，且当

R^{2} \geq 0.9

时，回归方程的拟合效果非常好；当

0.8 < R^{2} < 0.9

时，回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．（

R^{2}

的结果保留到小数点后两位）

参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2} = 52.36$ ．

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20. 2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.某社区组织^80名社区居民参加防疫知识竞赛，他们的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求社区居民成绩的众数及 $a$ 的值；

(2)、我们将成绩大于等于80分称为优秀，成绩小于60分称为不合格.用分层抽样的方法从这80个成绩中抽取20个成绩继续分析，成绩不合格和优秀各抽了多少个？再从抽取的不合格成绩和优秀成绩中任选3个成绩，记优秀成绩的个数为 $X$ 个，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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21. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．

(1)、若 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，
①求此函数图象的对称中心，

②求 $f (- 2017) + f (- 2018) + f (- 2019) + f (2019) + f (2020) + f (2021)$ 的值；

(2)、类比上述推广结论，写出“函数 $y = f (x)$ 的图像关于 $y$ 轴成轴对称的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为偶函数”的一个推广结论．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a \ln x - \frac{1}{2}$ （ $a \in R$ ， $a \neq 0$ ）．

(1)、当 $a = 4$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程．

(2)、若对任意的 $x \in [1 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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年级	高一	高二	高三
垃圾分类知识测试优秀率	55%	75%	65%