山东省枣庄市薛城区2020-2021学年八年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若分式 $\frac{x}{x + y}$ 中x和y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（）

A、扩大到原来的2倍 B、扩大到原来的4倍 C、缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ D、不变

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2. 如图，将 $Δ A B C$ 绕边 $A C$ 的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的 $Δ C D A$ 与 $Δ A B C$ 构成平行四边形，并推理如下：
点A，C分别转到了点C，A处，

而点B转到了点D处．

∵ $C B = A D$ ，

∴四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵ $C B = A D$ ，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（）

A、嘉淇推理严谨，不必补充 B、应补充：且 $A B = C D$ ， C、应补充：且 $A B // C D$ D、应补充：且 $O A = O C$ ，

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3. 如图，已知等腰 $△ ABC$ 的底角 $∠ C = 15^{°}$ ，顶点B到边AC的距离是3cm，则AC的长为（）

A、3cm B、 $4 c m$ C、 $5 c m$ D、 $6 c m$

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4. 把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，结果是（）

A、（a﹣2）（2x+y） B、（2﹣a）（2x+y） C、（a﹣2）（2x﹣y） D、（2﹣a）（2x﹣y）

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5. 小红同学在某数学兴趣小组活动期间，用铁丝设计并制作了如图所示的三种不同的图形，请您观察甲、乙、丙三个图形，判断制作它们所用铁丝的长度关系是（）

A、制作甲种图形所用铁丝最长 B、制作乙种图形所用铁丝最长 C、制作丙种图形所用铁丝最长 D、三种图形的制作所用铁丝一样长

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6. 下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）.

A、① B、② C、③ D、④

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7. 如图，已知四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 边上的一个动点， $F$ 是 $A D$ 边上的一个定点， $G$ ， $H$ 分别是 $E F$ ， $E B$ 的中点，当 $E$ 点 $C D$ 在上从 $C$ 向 $D$ 逐渐移动时，下列结论成立的是（）

A、线段 $G H$ 的长逐渐增大 B、线段 $G H$ 的长逐渐减少 C、线段 $G H$ 的长保持不变 D、线段 $G H$ 的长先增大后减小

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8. 如图 $∠ 1 ， ∠ 2 ， ∠ 3$ 是正五边形 $A B C D E$ 的三个外角，若 $∠ A + ∠ B = 230 ° ，$ 则 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3$ =（）

A、 $140 °$ B、 $180 °$ C、 $230 °$ D、 $320 °$

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9.
在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）

A、① B、② C、③ D、④

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10. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a x}{x - 1} = \frac{4}{x - 1} + 1$ 有增根，则 $a$ 的值是（）

A、1 B、2 C、4 D、1或4

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11. 如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB⊥AC，AC的垂直平分线交AD于点E，△CDE的周长是15，则平行四边形ABCD的面积为（）

A、 $\frac{25 \sqrt{3}}{2}$ B、40 C、50 D、 $25 \sqrt{3}$

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12. 如图所示，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转45°后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ．依此方式，绕点 $O$ 连续旋转2021次得到正方形 $O A_{2021} B_{2021} C_{2021}$ ，那么点 $A_{2021}$ 的坐标是（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(0 ， - 1)$

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二、填空题

13. 代数式 $\frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ 有意义，则x的取值范围是.

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14. 把 $a^{3} - 4 a b^{2}$ 分解因式，结果为．

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15. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A F$ 平分 $∠ B A D$ 交 $C D$ 于点 $F$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $C D$ 于点 $E$ ．若 $A B = 15$ ， $B C = 6$ ，则 $E F$ 的长为．

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16. 现规定一种新运算， $a ※ b = 2 a - b$ ，其中 $a$ 、 $b$ 为常数．已知关于 $x$ 的不等式 $k ※ x \leq 3$ 的解集在数轴上表示如图，则 $k$ 的值为．

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17.
如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A D = 6$ ， $B C = 16$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点．点 $P$ 以每秒1个单位长度的速度从点 $A$ 出发，沿 $A D$ 向点 $D$ 运动；点 $Q$ 同时以每秒2个单位长度的速度从点 $C$ 出发，沿 $C B$ 向点 $B$ 运动．点 $P$ 停止运动时，点 $Q$ 也随之停止运动，当运动时间 $t =$ $s$ 时，以点 $P$ ， $Q$ ， $E$ ， $D$ 为顶点的四边形是平行四边形．

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三、解答题

19. 例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”

得① ${\begin{matrix} x - 2 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{matrix}$ ，或② ${\begin{matrix} x - 2 < 0 \\ x + 3 < 0 \end{matrix}$ ，

解不等式组①得，x＞2，

解不等式组②得，x＜﹣3，

所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3.

阅读例题，尝试解决下列问题：

(1)、平行运用：解不等式x²﹣9＞0；

(2)、类比运用：若分式 $\frac{x + 1}{x - 2}$ 的值为负数，求x的取值范围.

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20. 已知某正多边形的一个内角比它相邻外角的3倍还多20°．

(1)、求这个正多边形一个内角的度数；

(2)、求这个正多边形的内角和．

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21. 先化简，再求值 $\frac{x - 3}{x^{2} - 1} \div \frac{x - 3}{x^{2} + 2 x + 1} - (\frac{1}{x - 1} + 1)$ ，其中 $x$ 是不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x - 3 (x + 1) > 3 \\ \frac{1}{2} x - 1 < 9 - \frac{3}{2} x \end{array}$ 的整数解．

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22. 如图，平行四边形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交点 $O$ ， $E$ 、 $F$ 是平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的两点，且 $B E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A C$ ，连接 $B E$ 、 $E D$ 、 $D F$ 、 $F B$ ．

(1)、求证：四边形 $B E D F$ 为平行四边形；

(2)、若 $B E = 3$ ， $E F = 2$ ，求 $B D$ 的长．

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23. 为打赢“扶贫攻坚战”，某单位计划选购甲、乙两种果树苗送给贫困户，已知甲种果树苗单价比乙种果树苗的单价高10元，若用500元单独购买甲种果树苗与300元单独购买乙种果树苗的数量相同．

(1)、请问甲，乙两种果树苗的单价各为多少元？

(2)、如果该单位计划购买甲，乙两种水果树苗共5500棵，总费用不超过92500元，则甲种果树苗最多可以购买多少棵？

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24. 整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如， $a (b + c + d) = a b + a c + a d$ 是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到 $a b + a c + a d = a (b + c + d)$ ，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．

又如 ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ 是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}$ 、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ ，这是运用公式法把多项式因式分解．

有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．

甲： $x^{2} - x y + 4 x - 4 y$

$= (x^{2} - x y) + (4 x - 4 y)$ （分成两组）

$= x (x - y) + 4 (x - y)$ （分别提公因式）

$= (x - y) (x + 4)$

乙： $a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2 b c$

$= a^{2} - (b^{2} + c^{2} - 2 b c)$ （分成两组）

$= a^{2} - {(b - c)}^{2}$ （运用公式）

$= (a + b - c) (a - b + c)$

请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解

问题一：因式分解：

(1)、 $m^{3} - 2 m^{2} - 4 m + 8$ ；

(2)、 $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 9$ ．

(3)、问题二：探究
对 $x$ 、 $y$ 定义一种新运算 $F$ ，规定： $F (x ， y) = (m x + n y) (3 x - y)$ （其中 $m$ ， $n$ 均为非零常数）．当 $x^{2} \neq y^{2}$ 时， $F (x ， y) = F (y ， x)$ 对任意有理数 $x$ 、 $y$ 都成立，试探究 $m$ ， $n$ 的数量关系．

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25. 如图

(1)、如图1所示，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点，求证： $A B + A C > 2 A D$
甲说：不可能出现 $△ A B D$ $≌ △ A C D$ ，所以此题无法解决；

乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长 $A D$ 至点 $E$ ，使得 $D E = A D$ ，连接 $B E$ 、 $C E$ ，由于 $B D = D C$ ，所以可得四边形 $A B E C$ 是平行四边形，请写出此处的依据（平行四边形判定的文字描述）

所以 $A C = B E$ ， $△ A B E$ 中， $A B + B E > A E$ ，

即 $A B + A C > 2 A D$

(2)、如图2，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ， $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点， $M$ 为 $A C$ 的中点，连接 $B M$ 交 $A D$ 于 $F$ ，若 $A M = M F$ ．求证： $B F = A C$ ．

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