贵州省黔西南州2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = Z$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {3 ， 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、{4} B、{3} C、{1，2} D、 $\emptyset$

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2. 复数 $z = i (3 + i)$ 的实部为（）

A、1 B、－1 C、3 D、－3

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3. 若函数 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = x \cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 均为偶函数 C、 $f (x)$ 为偶函数， $g (x)$ 为奇函数 D、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 均为奇函数

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4. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，若 $4 a_{2} = a_{1} + 4 a_{3}$ ，则 $q =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、－2

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5. 在18个村庄中有8个村庄交通不便，现从中任意选9个村庄，用 $X$ 表示这9个村庄中交通不便的村庄个数，则 $P (X = 5) =$ （）

A、 $\frac{C_{8}^{5}}{C_{18}^{9}}$ B、 $\frac{C_{8}^{4} \times C_{10}^{5}}{C_{18}^{9}}$ C、 $\frac{C_{10}^{5}}{C_{18}^{9}}$ D、 $\frac{C_{8}^{5} \times C_{10}^{4}}{C_{18}^{9}}$

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6. 曲线 $y = \frac{x - 1}{3 x + 1}$ 在点 $(1 ， 0)$ 处切线的斜率为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 某社区卫生服务站周末到社区开展健康义诊咨询活动，活动结束后，参加活动的医务人员要集体拍照留念．医务人员包括6名医生和3名护士，摄影师要求他们站成一排，且3名护士相邻，则不同的排法总数为（）

A、 $A_{7}^{7}$ B、 $A_{6}^{6} A_{3}^{3}$ C、 $A_{7}^{7} A_{3}^{3}$ D、 $A_{6}^{6} A_{4}^{4}$

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8. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 4 \leq 0 ， \\ y - 4 \leq 0 ， \\ x + y - 4 \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = x + 2 y$ 的最大值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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9. “ $a - b > 1$ ”是“ $a^{2} - b^{2} > 2 b + 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 南北朝时期的数学古籍《张丘建算经》有如下一题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次等（即等差）降之．上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未得者，亦依等次更给．”意思是皇帝赏赐十人黄金，将十人分成十个不同的等级，每个等级的人与他下一等级的人分得的黄金之差相同，已知上三等级的三人共分得黄金4斤，下四等级的四人共分得黄金3斤，则中间三等级的三人共分得黄金（）

A、 $\frac{139}{26}$ 斤 B、 $\frac{83}{26}$ 斤 C、 $\frac{79}{26}$ 斤 D、 $\frac{65}{26}$ 斤

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11. 若 ${(3 x - 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + ... + a_{7} x^{7}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{7} {(- 1)}^{i + 1} i a_{i} =$ （）

A、448 B、1344 C、28672 D、86016

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12. 在底面是正三角形的三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $A B = 3$ ， $P B = \frac{3}{2}$ ．以 $A$ 为球心的球 $A$ 的表面积为 $16 π$ ，则球 $A$ 的球面与三棱锥 $P - A B C$ 的表面的交线总长为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{3}$ C、 $2 π$ D、 $\frac{7 π}{3}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， λ)$ 与 $\vec{b} = (- 3 ， 1)$ 垂直，则 $λ =$ ．

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14. 已知 $X ~ B (6 ， \frac{1}{3})$ ，则 $D (3 X - 1) =$ ．

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15. 中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器．如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥底面圆的直径和高均为4cm，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 $\frac{3}{4}$ （细管长度忽略不计）．若细沙的流速为每分钟 $1 {cm}^{3}$ ，则上部细沙全部流完的时间约为分钟（结果精确到整数部分）．

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16. 已知 $P$ 为曲线 $C$ ： $x = 3 \sqrt{y}$ 上一点， $T (0 ， \frac{9}{4})$ ， $A (3 ， 3)$ ，则 $| P T | + | P A |$ 的最小值为．

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $\cos (B + C) = 2 \cos^{2} \frac{A}{2}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 如图，在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，A ， D ， B分别在x ， y ， z轴的正半轴上，C在平面BOD内.

(1)、若 $O E ⊥ C D$ ，证明： $C D ⊥ A E$ .

(2)、已知 $O A = O D = 3$ ， $O B = 2$ ，C的坐标为 $(0 ， 2 ， 4)$ ，求BC与平面ACD所成角的正弦值.

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19. 中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，给中国工农业生产和人民生活带来严重影响随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程．该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费 $x$ （亿元）和沙漠治理面积 $y$ （万亩）的相关数据如下表所示：

年份

2017

2018

2019

2020

$x$

2

3

4

5

$y$

24

37

47

52

(1)、通过散点图看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(3)、若保持以往沙漠治理经费的增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积可突破80万亩．
参考数据： $\sqrt{2290} \approx 47.8$ ．

参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的焦点与双曲线 $D ： \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{t} = 1 (t > 0)$ 的焦点相同，且D的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

(1)、求C与D的方程；

(2)、若 $P (0 ， 1)$ ，直线 $l ： y = - x + m$ 与C交于A ， B两点，且直线PA ， PB的斜率都存在.
①求m的取值范围.

②试问这直线PA ， PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{2 e^{2} \ln x}{x^{2}}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设函数 $g (x) = f^{2} (x) - (3 m + 1) f (x) + 2 m^{2} + 2 m$ （ $m > 0$ ），讨论 $g (x)$ 的零点个数．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 + 3 \cos α ， \\ y = 3 \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数).以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) + 1 = 0$ ，点 $P$ 的极坐标为 $(1 ， π)$ .

(1)、求 $C$ 的普通方程和 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $C$ 与 $l$ 交于M ， N两点，求 $| P M | + | P N |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 3 | - | x - 2 |$ ，函数 $g (x) = x^{2} + a x - 1$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 1$ 的解集；

(2)、设 $f (x)$ 的最大值为M ，若关于 $x$ 的不等式 $g (x) > M$ 在 $[2 ， 3]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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年份	2017	2018	2019	2020
$x$	2	3	4	5
$y$	24	37	47	52