山东省青岛市城阳区2020-2021学年八年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下面图形中，是中心对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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2. 据气象台预报，2021年6月某日我区最高气温25℃，最低气温17℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（）．

A、t≥17 B、t≤25 C、17 ≤t ≤25 D、17＜t＜25

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3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）．

A、 $(3 - x) (3 + x) = 9 - x^{2}$ B、 $10 x^{3} y^{4} = 2 x y .5 x^{2} y^{3}$ C、 $2 x y - 4 x y^{2} + x = 2 y (x - 2 x y) + x$ D、 $x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2}$

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4. 如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为(1，0)，点A在 $x$ 轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向左平移3个单位，得到点A的对应点的坐标是（）．

A、（﹣2，﹣2） B、（﹣1，﹣2） C、（﹣2，﹣3） D、（﹣1，3）

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5. 张叔叔想买同一种大小一样、形状相同的地砖铺设客厅，为了能够做到无缝隙、不重叠铺设，有以下几种地砖①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；⑤正十边形，可以购买的地砖形状是（）．

A、①④ B、①③ C、③⑤ D、②④

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6. 化简 $\frac{x^{2}}{x + 2} - x + 2$ 的结果是（）

A、 $\frac{2 x^{2} + 4}{x + 2}$ B、 $\frac{4}{x + 2}$ C、 $\frac{8 x}{x^{2} - 4}$ D、 $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x - 2}{x^{2} - 4}$

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7. 如图，在△ABC中，AC=BC ， ∠C = 90°，BD平分∠ABC交AC于点D ， DE⊥AB于点E ， CD=6，则AB等于（）．

A、6 $\sqrt{2}$ + 12 B、6 $\sqrt{2}$ + 6 C、4 $\sqrt{2}$ D、4 $\sqrt{2}$ + 4

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8. 若不等式组 ${\begin{array}{l} x + a \geq 0 \\ 5 - 3 x > x - 3 \end{array}$ 有解，则a的取值范围是（）．

A、 $a$ ≤－2 B、 $a$ ≥－2 C、 $a$ ＜－2 D、 $a$ ＞－2

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二、填空题

9. 分解因式：﹣ $16 x^{2} + 9 y^{2}$ = ．

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10. 分式 $\frac{x + 5}{x - 2}$ 的值为0，则x的值为.

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11. 三角形各边长分别是6cm ， 8cm ， 10cm ，则以各边中点为顶点的三角形面积是cm² ．

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12. 已知函数， $y_{1} = - 2 x + 3$ ， $y_{2} = 3 x + 4$ 则当 $y_{1} > y_{2}$ 时，则x的取值范围是．

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13. 如图，在△ABC中，AC=BC ， D是AB的中点，连接CD ， ∠ACB = 46°，则∠A=°．

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14. 如图，在△ABC中，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，使旋转角∠DAB=70°，则∠AEC=°．

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15. 如图，在△ABC中，∠C =45°，AB的垂直平分线交AB于点E ，交BC于点D；AC的垂直平分线交AC于点G ，交BC于点F ，连接 AD ， AF ．若AF=2cm，BC=8cm，则DF=cm．

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16. 观察： $∵ \frac{1}{1 \times 3} = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{3})$ ， $\frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$ ， $\frac{1}{5 \times 7} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$ ，……， $\frac{1}{19 \times 21} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{19} - \frac{1}{21})$ $∴ \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + ... + \frac{1}{19 \times 21} = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{19} - \frac{1}{21}) = \frac{10}{21}$ ，请用你发现的规律计算求值： $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + ... + \frac{1}{2019 \times 2021} =$ ．

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三、解答题

17.

(1)、已知：△ABC ．
求作：BC边上的高AD ．

(用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)

(2)、如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，2），C（－1，2）．
①平移△ABC ，使其顶点A平移到点A₁（－3，0）处，画出平移后的△A₁B₁C₁；

②以点C为旋转中心，画出△ABC按顺时针旋转90°的△A₂B₂C₂ ．

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18.

(1)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 5(2 x - 1) \leq 5 x + 5 \\ \frac{3 x - 8}{7} < x \end{array}$ ；

(2)、化简： $(\frac{x^{2} + y^{2}}{y} - 2 x) \div \frac{y - x}{y}$ ；

(3)、分解因式： $x^{2} y - 8 x y + 16 y$ ；

(4)、解方程： $\frac{3 - x}{x - 6} + \frac{1}{6 - x} = 1$

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19. 某校团委组织七年级和八年级共100名同学参加义卖活动，所获利润全部捐给贫困地区学生，七年级学生每人义卖平均获得净利润10元，八年级学生每人义卖平均获得净利润15元．为了保证义卖获得净利润总钱数不少于1200元，至少需要多少名八年级学生参加活动？

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20. 已知：如图，∠CAB=∠ABD=90°，且CB=AD ， CB、AD交于点E ， EF⊥AB于点F，

求证：

(1)、AC=BD；

(2)、若BD=6 $\sqrt{2}$ ，则EF= ．

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21. 已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ， E是BC的中点，连接OE并延长使EF=OE ，连接BF、CF ．

求证：

(1)、OB=CF；

(2)、四边形OFCD是平行四边形．

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22. 某商场计划购进A、B两种品牌的卡通笔袋，A品牌笔袋的进价是B品牌笔袋的进价的2倍，用100元购进A品牌笔袋的件数比用100元购进B品牌笔袋的件数少10件．

(1)、求每件A品牌笔袋、B品牌笔袋的进价分别是多少元？

(2)、商场计划用500元来购进A、B两种品牌笔袋，其中A、B两种品牌笔袋的总数量至少为60件，设A品牌笔袋购进 $a$ 件，那么A品牌笔袋最多购进多少件？

(3)、在（1）（2）的条件下，若A品牌笔袋每件的售价是15元，B品牌笔袋每件的售价8元，若A、B两种品牌笔袋全部售完，请求出总利润W与 $a$ 的表达式？并求该超市利润最低是多少元？

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23. 如图，在四边形ABCD中，AD $//$ BC ， AD=15米，CD＝24米，BC＝46米．∠D＝150°．点P在BC上由点C向点B出发，速度为每秒4米；点Q在边AD上，同时由点A向点D运动，速度为每秒1米，当点Q运动到点D时，P、Q同时停止运动．连接PQ ，设运动时间为 $t$ 秒．

(1)、当t为何值时PQ $//$ CD？

(2)、设四边形PCDQ的面积为S ，求S与 $t$ 之间的函数关系式．

(3)、是否存在某一时刻 $t$ ，使点D在线段PC的垂直平分线上？并求出此刻 $t$ 的值．

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24. 如图

（问题提出）：将一个边长为 $n$ （ $n$ ≥2）的正方形的四条边 $n$ 等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？

（问题探究）：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．

探究一：将一个边长为2的正方形的四条边分别 2 等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？

如图1，从上往下，共有2行，我们先研究长方形（此处长方形包括正方形）的个数：

①第一行有宽边长为1，底长为1～2的长方形，共有2+1=3个；

②第二行有宽边长为1，底长为1～2的长方形，共有2+1=3个；

为了便于归纳分析，我们把长方形下面的底在第二行的所有长方形均算作第二行的长方形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括宽边长为2，底长为1～2 的长方形，共有2+1=3个．

即：第二行长方形共有 2×3个．

所以如图1，长方形共有 2×3+3=9=（2+1）²

我们再研究正方形的个数：

分析：边长为1的正方形共有2²个，边长为2的正方形共有1²个，

所以：如图 1，正方形共有2² + 1² = 5 = $\frac{1}{6}$ ×2×3×5 个．

探究二：将一个边长为3的正方形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？

如图2，从上往下，共有3行，我们先研究长方形的个数：

①第一行有宽长为1底长为1～3 的长方形，共有3+2+1=6个；

②第二行有宽边长为1，底长为 1～3的长方形，共有3+2+1=6个；

底在第二行还包括宽边长为2，底长为1～3 的长方形，共有3+2+1=6个．

即：第二行长方形共有2×6个．

③第三行有宽边长为1，底长为1～3 的长方形，共有3+2+1=6个；

底在第三行还包括宽边长为 2，底长为 1～3 的长方形，共有 3+2+1=6个．

底在第三行还包括宽边长为 3，底长为 1～3 的长方形，共有 3+2+1=6个．

即：第三行长方形共有 3×6个．

所以如图 2，长方形共有 3×6+2×6+6=（3+2+1）×6=（3+2+1）² ．

我们再研究正方形的个数：分析：边长为1的正方形共有 3²个，边长为 2 的正方形共有 2²个，边长为 3 的正方形共有 1²个．

所以：如图2，正方形共有 3² + 2² + 1² =14 = $\frac{1}{6}$ ×3×4×7 个．

探究三：将一个边长为 5 的正方形的四条边分别 5 等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？

(1)、如图 3，从上往下，共有 5 行，我们先研究长方形的个数：
①第一行有宽边长为 1，底长为 1～5 的长方形，共有 5+4+3+2+1=15个；

②第二行有宽边长为 1，底长为 1～5 的长方形，共有 5+4+3+2+1=15个；底在第二行还包括宽边长为 2，底长为 1～5 的长方形，共有 5+4+3+2+1=15个．即：第二行长方形共有2×15个．

③模仿上面的探究，第三行长方形总共有 3×15 个．

④按照上边的规律，第四行长方形总共有个．

⑤按照上边的规律，第五行长方形总共有个．

所以，如图 3，长方形总共有个．

我们再研究正方形的个数：

分析：边长为 1 的正方形共有 5²个，边长为 2 的正方形共有 4²个，边长为 3 的正方形共有 3²个，边长为 4 的正方形共有 2²个，边长为 5 的正方形共有1²个．

所以：如图 3，正方形共有5 ²+ 4² + 3² + 2²+ 1² = $\frac{1}{6}$ ×个．（仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式）

(2)、（问题解决）将一个边长为 $n$ （ $n$ ≥2）的正方形的四条边 $n$ 等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该正方形被剖分的网格中的长方形（此处矩形包括正方形）的个数是和正方形个数分别是 $\frac{1}{6}$ × ．（用含 $n$ 的代数式表示）
（问题应用）将一个边长为 $n$ （ $n$ ≥2）的正方形的四条边 12 等分，连接各边对应的等分点，若得出该正方形被剖分的网格中的长方形的（此处长方形包括正方形）个数

是个，正方形个数是个．

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