广西河池市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 9 - 4 x^{2} > 0}$ ， $B = {x ∣ x \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < \frac{3}{2}}$ B、 ${x | - \frac{3}{2} < x \leq 0}$ C、 ${x | - \frac{9}{4} < x < \frac{3}{2}}$ D、 ${x | - \frac{3}{2} \leq x \leq 0}$

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2. 已知复数 $z = i (i + 2) + 3$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. $2 \sin \frac{π}{12} \sin \frac{5 π}{12} \cos \frac{π}{6} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知命题 $p$ ： $α$ 是直线 $x + (m^{2} + 1) y - 1 = 0$ 的倾斜角，命题 $q$ ： $\cos 2 α = - \frac{4}{5}$ ，则命题 $p$ 是命题 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 在 $R$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(- \infty ， 0]$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $[0 ， + \infty)$

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6. 已知平面向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 之间的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $| \vec{m} | = 2$ ， $| \vec{n} | = 1$ ，则 $\vec{m}$ 与 $\vec{m} - \vec{n}$ 之间夹角的大小为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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7. 执行如图所示的程序框图，输出的 $x$ 的值为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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8. 已知数列 $a_{n} = 1 + 2 + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + 2^{n - 1}$ ， $b_{n} = a_{n} + 1$ ，则数列 { $b_{n}$ } 的前8项的和为（）

A、490 B、500 C、510 D、520

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9. 设 $a = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{3}}$ ， $b = \ln \sqrt{1000}$ ， $c = \frac{1}{5} \ln 5 - \frac{1}{3} \ln 3$ ，则 $π^{a}$ ， $π^{b}$ ， $π^{c}$ 的大小关系为（）

A、 $π^{c} < π^{b} < π^{a}$ B、 $π^{b} < π^{a} < π^{c}$ C、 $π^{a} < π^{c} < π^{b}$ D、 $π^{c} < π^{a} < π^{b}$

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10. 已知 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} + x) \cos (\frac{π}{2} - x) - \cos^{2} x + 3 \tan \frac{25 π}{4}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的对称轴方程为 $x = \frac{3 π}{4} + k π$ $(k \in Z)$ C、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[k π - \frac{π}{8} ， k π + \frac{3 π}{8}]$ $(k \in Z)$ D、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[3 ， \frac{5 + \sqrt{2}}{2}]$

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11. 如图正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面面积为36， $△ A_{1} B C_{1}$ 的面积为 $6 \sqrt{59}$ ，则三棱锥 $B - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的表面积为（）

A、 $68 π$ B、 $100 \sqrt{3} π$ C、 $172 π$ D、 $10 \sqrt{6} π$

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12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ $(b > a > 0)$ 的两个焦点，双曲线上的点 $P (b > a > 0)$ 到原点的距离为 $b$ ，且 $\sin ∠ P F_{2} F_{1} = \frac{5}{3} \sin ∠ P F_{1} F_{2}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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二、填空题

13. 下图是某校10个班的一次统考数学成绩平均分，则其平均分的中位数是．

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，若 $\frac{a_{8}}{b_{8}} = \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{S_{15}}{T_{15}} =$ ．

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15. 若 $(3 x^{2} - a) {(x + \frac{2}{x})}^{8}$ 的展开式的所有项的系数和为-6561，则展开式中的常数项为．

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16. 过抛物线 $W$ ： $x^{2} = 8 y$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，则当点 $A$ ， $B$ 到直线 $x - 2 y - 4 = 0$ 的距离之和最小时，线段 $A B$ 的长度为．

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三、解答题

17. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\cos B = \frac{1}{3}$ ，三角形外接圆的面积为 $\frac{9 π}{4}$ ．

(1)、求 $b$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $2 B C = 2 P A = A B = A D = 4$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C // A D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B D$ ， $P C$ 的中点．

(1)、求证： $E F //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求 $E F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值．

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19. 新高考取消文理科，实行“

3 + 3

”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表：

年龄（岁）	$[15 ， 25)$	$[25 ， 35)$	$[35 ， 45)$	$[45 ， 55)$	$[55 ， 65)$	$[65 ， 75)$
频数	5	15	10	10	5	5
了解	4	12	6	5	2	1

(1)、把年龄在

[15 ， 45)

称为中青年，年龄在

[45 ， 75)

称为中老年，请根据上表完成

2 \times 2

列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？

	了解新高考	不了解新高考	总计
中青年
中老年
总计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

(2)、若从年龄在

[55 ， 65)

的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为

X

，求

X

的分布列以及

E (X)

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线在 $y$ 轴上的截距为1，且与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点， $F_{2}$ 到直线 $M N$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若点 $P$ 的坐标为 $(0 ， m)$ ， $\vec{P M} \cdot \vec{P N} \leq \frac{43}{7} m - \frac{87}{7}$ ，求 $△ P M N$ 面积的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x + a$ $(a \in R)$ ， $g (x) = e^{1 - x} - \frac{1}{x}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a \geq 1$ ，证明对任意 $x > 1$ ， $f (x) < g (x)$ 恒成立．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 \sqrt{2} ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 0$ ．

(1)、求圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = 4 + t \\ y = k t \end{array}$ （ $t$ 为参数），直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求 $k$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 |$ ，函数 $g (x) = m - | x |$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，求不等式 $f (x) \leq g (x)$ 的解集；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象恒在函数 $g (x)$ 图象的上方，求实数 $m$ 的取值范围．

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