广东省汕尾市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{2} B、 ${1, 2}$ C、 ${2, 3}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 15$ ，则该数列前9项和 $S_{9} =$ （）

A、18 B、27 C、36 D、45

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3. 已知直线 $x + y = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 2$ 相切，则 $b =$ （）

A、-3 B、1 C、-3或1 D、 $\frac{5}{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{2}) (x \in R)$ ，下面结论错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数 C、函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = 0$ 对称 D、函数 $f (x)$ 是偶函数

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5. 某校高三年级1班有45名学生，经初步计算，今年广东一模数学考试全班平均分为70分，标准差为 $s$ .后来发现甲､乙两名同学的成绩录入有误，甲实际为60分，被误录入为50分，乙实际为40分，被误录入为50分.更正后重新计算，得到全班数学成绩的标准差为 $s_{1}$ ，则 $s$ 与 $s_{1}$ 的大小关系为（）

A、 $s < s_{1}$ B、 $s > s_{1}$ C、 $s = s_{1}$ D、不能确定

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6. 若直线 $y = x + 1$ 与曲线 $y = \frac{ln x}{x} + a$ 相切，则 $a$ 的值为（）

A、0 B、-1 C、1 D、2

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7. 如图所示， $F$ 为平行四边形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点， $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{F D}$ ，若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + y \vec{B C}$ ，则 $x y =$ （）

A、 $- \frac{5}{16}$ B、 $- \frac{3}{16}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{5}{16}$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交双曲线 $C$ 的右支于 $A ， B$ 两点，其中点 $A$ 在第一象限，且 $| A F_{2} | = 3 | B F_{2} |$ .若 $| A B | =$ $| A F_{1} |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{15}$ D、4

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二、多选题

9. 已知复数 $z = i (2 + i)$ ，则（）

A、 $\bar{z} = - 1 - 2 i$ B、 $| z | = 5$ C、 $z$ 对应的点位于第二象限 D、 $z$ 虚部为 $2 i$

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10. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，则下列结论正确的有（）

A、抛物线 $C$ 上一点 $M$ 到焦点 $F$ 的距离为4，则点 $M$ 的横坐标为3 B、过焦点 $F$ 的直线被抛物线所截的弦长最短为4 C、过点 $(0 ， 2)$ 与抛物线 $C$ 有且只有一个公共点的直线有2条 D、过点 $(2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，则 $y_{1} y_{2} = - 8$

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11. 已知函数 $f (x) = 3 x^{3} - x + 1$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的增区间为 $(- \infty ， - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3} ， + \infty)$ B、函数 $f (x)$ 的极小值为 $\frac{7}{9}$ C、若方程 $f (x) = a$ 有三个互不相等的实数根，则 $\frac{7}{9} ⩽ a ⩽ \frac{11}{9}$ D、函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(0 ， 1)$ 对称

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12. 下列命题中，正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0) = 0.2$ ，则 $P (X < 2) = 0.8$ B、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{a}{i (i + 1)} (i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， 100)$ ，则 $a = \frac{99}{100}$ C、用 $X$ 表示 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的次数， $p$ 为每次试验中事件 $A$ 发生的概率，若 $E (X) = 50 ， D (X) = 30$ ，则 $p = \frac{2}{5}$ D、已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员 $A$ 患甲病的概率为 $\frac{4}{15}$ ，患乙病的概率为 $\frac{2}{15}$ ，甲乙两种病都不患的概率为 $\frac{7}{10}$ .则家系成员 $A$ 在患甲病的条件下，患乙病的概率为 $\frac{3}{8}$

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三、填空题

13. 命题 $p ： \forall x \in N ， x^{3} > x^{2}$ ，则 $\neg p$ 是.

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14. 已知 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中 $x^{3}$ 项的系数是.

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15. 某中学举行“唱响红色主旋律，不忘初心跟党走”的文艺活动.活动共有9个节目，其中高中部有4个参演节目，初中部有5个参演节目.根据节目内容，第一个节目一定是初中部的，且高中部的4个参演节目均不相邻演出，则共有多少种不同的演出顺序.(用数字回答)

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16. 如图，一个圆锥形物体的母线长为6，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 $P$ 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 $P$ 处.若该小虫爬行的最短路程为 $6 \sqrt{2}$ ，则该圆锥形物体的底面半径等于.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b = 2 ， c = 4.$

(1)、若 $a cos B = (2 c - b) \cdot cos A$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $A = 2 B$ ，求边 $a$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2^{n + 1} - 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、已知 ▲ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答.

条件：① $b_{n} = (2 n + 1) a_{n} (n \in N^{*})$

② $b_{n} = \frac{2^{n}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)} (n \in N^{*})$

③ $b_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot {log}_{2} a_{2 n + 1} (n \in N^{*})$

注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分.

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19. 汕尾市陆河县因盛产青梅，被誉为“中国青梅之乡”.该县某企业旗下的青梅产品深受广大消费者的青睐.该企业产品分正品和次品两种，每箱产品有200件，每件产品为次品的概率为 $0.1$ ，且是否为次品相互独立.近期该企业举办了“青梅节”抽奖活动和促销活动.

(1)、“青梅节”抽奖活动，共有10张奖券，其中一等奖1张，每张价值500元；二等奖3张，每张价值100元；其余6张没有奖励.顾客 $A$ 从10张奖券中随机抽出2张.求顾客 $A$ 获奖的总价值 $X$ (单位：元)的分布列；

(2)、“青梅节”促销活动，每箱产品交付给顾客前都要进行检验，每件产品的检验费为2元.若检验出次品，则要更换为正品(更换的产品无需再付检验费).若因没有检验导致次品流入顾客手中，每件流入顾客手中的次品，企业要向顾客支付25元的赔偿费.现有以下两种方案，请你以检验费与赔偿费之和的期望值为决策依据，帮助企业决定应该选择那种方案？
方案一：从每箱200件产品中随机抽查检验20件产品；

方案二：对每箱200件产品进行逐一检验.

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20. 如图1所示，在凸四边形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = ∠ A D C = \frac{π}{2} ， ∠ D A C = ∠ C A B = \frac{π}{6} ， A B = 4$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点， $M$ 为线段 $A C$ 上的一点，且 $M E ⊥ A B$ .沿着 $A C$ 将 $△ D A C$ 折起来，使得平面 $D A C ⊥$ 平面 $B A C$ ，如图2所示.

(1)、证明： $B C ⊥ A D$ ；

(2)、求平面 $M D E$ 与平面 $D E B$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点 $F_{1} ， F_{2}$ 处， $| F_{1} F_{2} | < 8$ ，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一周，这时笔尖在平面上留下了轨迹 $C .$ 当笔尖运动到点 $M$ 处时，经测量此时 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{2}$ ，且 $△ F_{1} M F_{2}$ 的面积为 $4 c m^{2} .$

(1)、以 $F_{1} ， F_{2}$ 所在直线为 $x$ 轴，以 $F_{1} F_{2}$ 的垂直平分线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，求李华笔尖留下的轨迹 $C$ 的方程(铅笔大小忽略不计)；

(2)、若直线 $l$ 与轨迹 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且弦 $A B$ 的中点为 $N (2 ， 1)$ ，求 $△ O A B$ 的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = a ln x - \frac{2}{x} + 2 x (a \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | ⩽ \frac{3}{2}$ ，证明 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | ⩽ 10 ln 2 - 6$ .

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