广东省汕头市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $Α = {x | 0 < x \leq 2}$ ， $Β = {x | x < 1}$ ，则集合 $C_{U} (A \cup B) =$

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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2. 设复数 $z = \frac{1}{1 - i} - 2 i$ （i为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、2

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (k ， 2) ， \vec{b} = (1 ， 1) ， k \in R$ ，则k＝2是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， {(x - \frac{4}{x})}^{n}$ 的展开式中含 $x^{n - 4}$ 的项的系数恰为 $S_{n}$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、－96 B、96 C、－80 D、80

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5. 已知三棱锥P－ABC中，PA＝4，AB＝AC＝ $2 \sqrt{3}$ ，BC＝6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的体积为（）

A、 $\frac{256 π}{3}$ B、 $256 π$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $32 π$

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6. 定义2×2知阵 $[\begin{array}{l} a_{1} a_{2} \\ a_{3} a_{4} \end{array}] = a_{1} a_{4} - a_{2} a_{3}$ ，若 $f (x) = [\begin{matrix} \cos x - \sin x \begin{matrix} \end{matrix} \sqrt{3} \\ \cos (\frac{π}{2} + 2 x) \begin{matrix} \end{matrix} \cos x + \sin x \end{matrix}]$ ，则 $f (x)$ （）

A、图象关于 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 中心对称 B、图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、在区间 $[- \frac{π}{6} ， 0]$ 上的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、周期为 $π$ 的奇函数

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7. 点A在直线y＝x上，点B在曲线 $y = \ln x$ 上，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = (2 n + 1) n$ ， $b_{n} = \frac{a_{n} + 1}{4}$ ，则 $\frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + \dots \dots + \frac{1}{b_{2020} b_{2021}} =$ （）

A、 $\frac{2021}{2022}$ B、 $\frac{2020}{2021}$ C、 $\frac{2019}{2020}$ D、 $\frac{1}{2021}$

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二、多选题

9. 5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围．目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：

月份	2020年6月	2020年7月	2020年8月	2020年9月	2020年10月
月份编号x	1	2	3	4	5
销量y（部）	52	95	a	185	227

若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为 $\hat{y} = 44 x + 10$ ，则下列说法正确的是（）

A、a＝152 B、5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约30台 C、y与x正相关 D、预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部

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10. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{s + t} - \frac{y^{2}}{s - t} = 1$ 的左、右焦点，且 $| F_{1} F_{2} | = 8$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $s = 8$ B、 $F_{1}$ 到渐近线的距离随着 $t$ 的增大而增大 C、 $t$ 的取值范围是 $(- 32 ， 32)$ D、当 $t = 4$ 时， $C$ 的实轴长是虚轴长的 $\sqrt{3}$ 倍

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11. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M是线段 $A_{1} C_{1}$ 上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A、四面体 $B_{1} A C M$ 的体积恒为定值 B、直线 $D_{1} M$ 与平面 $A D_{1} C$ 所成角正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、异面直线BM与AC所成角的范围是 $[0 ， \frac{π}{4}]$ D、当 $4 A_{1} M = A_{1} C_{1}$ 时，平面BDM截该正方体所得的截面图形为等腰梯形

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12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个点 $x_{0}$ ，使得f（ $x_{0}$ ）＝ $x_{0}$ ，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）

A、 $f (x) = 2^{x} - x$ B、 $f (x) = x^{2} - 2 x + π$ C、 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} - 1 ， x \leq 1 \\ | 2 - x | ， x 1 \end{array}$ D、 $f (x) = \frac{2}{x} - \frac{x}{2}$

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三、填空题

13. 已知 $0 < α < \frac{π}{2} ， \cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin α =$ ．

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14. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过 $F$ 与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $| A F | = | B F |$ ，则 $y$ 轴被以线段 $A B$ 为直径的圆截得的弦长为．

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15. 六个同学重新随机调换座位，则恰有两人坐在自己原来的位置上的概率为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x - \frac{3}{4} ， x \leq 0 \\ \frac{\sin \frac{π x}{2}}{2^{x - 1} + 2^{- x + 1}} ， x > 0 \end{array}$ ，则函数f（x）的最大值是．

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四、解答题

17. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C，设△ABC的面积为S，已知．任选一个条件① $3 (c^{2} + a^{2}) = 3 b^{2} + 16 S$ ；② $4 c - 5 a = - 5 b \cos C$ ，补充在上面横线处，然后解答补充完整的题目．

(1)、求sinB的值；

(2)、若S＝42，a＝10，求b的值．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} + a_{3} = 20 ， S_{5} = 40$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = | a_{n} - 2 |$ ，求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，∠PAB＝90°，PB＝PD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

(1)、求证：AE⊥平面PBC；

(2)、是否存在点F，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

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20. 端午假期即将到来，永辉超市举办“浓情端午高考加油”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.

方案一：

从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.

方案二：

从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次

(1)、若小南、小开均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们均享受免单优惠的概率；

(2)、若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点D（0，3）作直线l与椭圆C交于A、B两点，点N满足 $\vec{O N} = \vec{O A} + \vec{O B}$ （O为坐标原点），求四边形OANB面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - x ， g (x) = \frac{\ln x}{x}$ ．

(1)、证明：对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $| f (x_{1}) | > g (x_{2})$ ；

(2)、设m＞n＞0，比较 $\frac{f (m) + m - (f (n) + n)}{m - n}$ 与 $\frac{m}{m^{2} + n^{2}}$ 的大小，并说明理由．

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