福建省莆田市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ 在复平面内对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知 $f' (x)$ 是函数 $f (x) = (x^{2} - 1) (x + 2)$ 的导函数，则 $f' (1) =$ （）

A、0 B、2 C、4 D、6

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3. 某工厂为节能降耗，经过技术改造后，生产某种产品的产量x（单位：吨）与相应的生产能耗y（单位：吨）的对应数据如下表：

x（吨）

3

4

5

6

y（吨）

2.5

3

4

4.5

根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为 $\hat{y} = b x + 0.35$ ，则b的值为（）

A、0.3 B、0.7 C、3 D、7

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4. 已知 ${(1 - \sqrt{2} x)}^{4} {(1 + \sqrt{2} x)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} =$ （）

A、 $- 2 - \sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、0 D、1

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5. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且函数 $y = (x + 1) f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 有极大值 $f (- 1)$ 和极小值 $f (1)$ B、 $f (x)$ 有极大值 $f (- 2)$ 和极小值 $f (1)$ C、 $f (x)$ 有极大值 $f (- 1)$ 和极小值 $f (- 2)$ D、 $f (x)$ 有极大值 $f (- 2)$ 和极小值 $f (- 1)$

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6. 甲、乙、丙三人互传一个篮球，持球者随机将球传给无球者之一.由甲开始持球传递，经过4次传递后，篮球回到甲手上的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某学习小组有甲、乙、丙三人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分配方案种数有（）

A、38 B、56 C、62 D、80

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8. 已知 $a ， b ， c > 0$ ，且 $a \neq 2$ ， $b \neq 3$ ， $c \neq 5$ .若 $a \ln 2 = 2 \ln a$ ， $b \ln 3 = 3 \ln b$ ， $c \ln 5 = 5 \ln c$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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二、多选题

9. 设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（）

A、若A，B是互斥事件， $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A \cup B) = \frac{1}{6}$ B、若A，B是对立事件，则 $P (A \cup B) = 1$ C、若A，B是独立事件， $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{9}$ D、若 $P (\bar{A}) = \frac{1}{3}$ ， $P (\bar{B}) = \frac{1}{4}$ ，且 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{4}$ ，则A，B是独立事件

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10. 已知某批零件的质量指标 $ξ$ （单位：毫米）服从正态分布 $N (25.40 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ \geq 25.45) = 0.1$ ，现从该批零件中随机取3件，用 $X$ 表示这3件产品的质量指标值 $ξ$ 不位于区间 $(25.35 ， 25.45)$ 的产品件数，则（）

A、 $P (25.35 < ξ < 25.45) = 0.8$ B、 $E (X) = 2.4$ C、 $D (X) = 0.48$ D、 $P (X \geq 1) = 0.512$

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11. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列说法正确的是（）

A、从中任取3球，恰有一个白球的概率是 $\frac{1}{3}$ B、从中任取3球，恰有两个白球的概率是 $\frac{1}{5}$ C、从中任取3球，取得白球个数 $X$ 的数学期望是1 D、从中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率为 $\frac{2}{5}$

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12. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 3$ 的两个极值点，直线 $l$ 过 $P (x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $Q (x_{2} ， f (x_{2}))$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的一个极值点 B、若 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(0 ， \frac{2}{3})$ ，则 $a = - 1$ C、若 $l$ 的斜率为-2，则 $a = - 3$ D、当 $a = 3$ 时， $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 5)$ 对称

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三、填空题

13. 复数 $z$ 满足： $\bar{z} + | z | = 1 - i$ ，则 $z =$ .

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14. ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{5}$ 展开式中 $x$ 的系数为.（用数字作答）

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15. 定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，且 $f (2) = 2$ ，则不等式 $f (x) > x$ 的解集是.

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16. 已知甲、乙两地相距 $150 km$ .根据交通法规，两地之间的车速应限制在 $50 ~ 100 km/h$ .假设油价是7元/L，某汽车以 $x km/h$ 的速度行驶，其耗油量为 $(3 + \frac{x^{3}}{54000}) L/h$ ，司机每小时的工资是35元.如果不考虑其他费用，那么该汽车从甲地到乙地的总费用最低是元，此时车速是 $km/h$ .

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四、解答题

17. 随着智能手机的日益普飞，中学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定.某研究性学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对某校100名学生调查得到统计数据如下表（其中

y = 4 x

）.

	不使用手机	使用手机	合计
学习成绩优秀人数	34	$x$
学习成绩不优秀人数	36	$y$
合计	70	30	100

(1)、求

x

，

y

的值，并补全表中数据；

(2)、运用独立性检验思想，能否判断有

99 %

的把握认为中学生使用手机对学习有影响？

参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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18. 甲、乙两队进行篮球决赛，因为疫情防控需要，取消主客场，两队比赛在某“中立”场馆举行，并采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，快赛结束）.根据以往比赛成绩，甲队每场取胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，且各场比赛结果相互独立.

(1)、求甲队以 $3 ： 1$ 获胜的概率；

(2)、据资料统计，组织者在第一场比赛可获得门票收入200万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加50万元，求组织者在此次比赛中获得门票总收入不少于1000万元的概率.

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19. 从0，1，2，3，4，5，6中任取3个偶数和2个奇数，组成没有重复数字的五位数.

(1)、求其中大于50000且能被5整除的个数；

(2)、求其中3个偶数从左到右按由小到大排序的个数.

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20. 已知函数 $f (x) = x {(x - a)}^{2} + b$ 在 $x = 1$ 处取得极大值.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $- 4 < b < 0$ ，证明： $f (x)$ 有且只有3个零点.

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21. 消费扶贫是指社会各界通过消费来自贫困地区和贫困人口的产品与服务，帮助贫困人口增收脱贫的一种扶贫方式，是社会力量参与脱贫攻坚的重要途径.大力实施消费扶贫，有利于动员社会各界扩大贫困地区产品和服务消费，调动贫困人口依靠自身努力实现脱贫致富的积极性，促进贫困人口稳定脱贫和贫困地区产业持续发展.某地为了解消费扶贫对贫困户帮扶情况，随机抽取80户进行调查，并用打分来进行评估，满分为10分.下表为80户贫困户所打分数 $X$ 的频数统计：

分数 $X$

5

6

7

8

9

10

频数

4

8

20

24

16

8

(1)、求贫困户所打分数的平均值；

(2)、从打分不低于8分的贫困户中，用分层抽样的方法随机抽取12户.
（i）分别求抽到打分为8，9，10的贫困户的户数；

（ii）从以上12户中任意抽取两户，记他们所打分数之和为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{x} - a x - 2 \ln x$ ， $a \in R$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线过点 $(\frac{2}{3} ， 0)$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得最小值，求 $e^{x_{0}} \ln^{2} x_{0}$ 的值.

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x（吨）	3	4	5	6
y（吨）	2.5	3	4	4.5

分数 $X$	5	6	7	8	9	10
频数	4	8	20	24	16	8