四川省成都市锦江区2020-2021学年八年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A、 $a (x + y) = a x + a y$ B、 $10 x^{2} - 5 x = 5 x (2 x + 1)$ C、 $y^{2} - 4 y + 4 = {(y - 2)}^{2}$ D、 $t^{2} - 16 = (t + 8) (t - 8)$

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3. 下列各数是不等式x-1≥0的解的是（）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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4. 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是（）边形.

A、六 B、七 C、八 D、九

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5. 下列分式变形一定成立的是（）

A、 $\frac{b}{a} = \frac{b + 2}{a + 2}$ B、 $\frac{b}{a} = \frac{2 b}{2 a}$ C、 $\frac{b}{a} = \frac{b m}{a m}$ D、 $\frac{b}{a} = \frac{b \div m}{a \div m}$

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6. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， ∠ A = 30 °$ ，作 $A C$ 的垂直平分线，交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，若 $D E =$ $3$ ，则 $B D$ 的长度是（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 已知函数 $y = k x + b$ 的图象如图所示，则不等式 $k x + b < 0$ 的解集是（）

A、 $x > 5$ B、 $x < 5$ C、 $x > 2$ D、 $x < 2$

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8. 下列命题是真命题的是（）

A、斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B、若 $a > b ，$ 则 $2 - a > 2 - b$ C、平行四边形对角线相等 D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

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9. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O ， ∠ B A O = 80 °$ ，点 $F$ 为 $A D$ 中点，连接 $F O$ ，若 $O D$ 平分 $∠ F O C ，$ 则 $∠ A B D$ 的度数是（）

A、 $40^{\circ}$ B、 $50^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $80^{\circ}$

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10. 如图， $A$ 为 $x$ 轴负半轴上一点，过点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴，与直线 $y = x$ 交于点 $B$ ，将 $△ A B O$ 沿直线 $y = x$ 向上平移 $5 \sqrt{2}$ 个单位长度得到 $△ A' B' O'$ ，若点 $A$ 的坐标为 $(- 3 ， 0)$ ，则点 $B'$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(2 ， 2)$ C、 $(3 ， 3)$ D、 $(5 ， 5)$

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二、填空题

11. 分解因式： $4 x^{2} - 9$ =.

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12. 若分式 $\frac{x}{2 x - 3}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 1 ， B C = 2$ ，点 $E$ 为线段 $A B$ 上一点，连接 $C E ，$ 将 $△ B C E$ 沿 $C E$ 翻折，点 $B$ 的对应点 $B'$ 落在 $D A$ 的延长线上，若 $∠ B' C D = 90 ° ，$ 则 $A B' =$ .

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 60^{\circ} ，$ 以点 $B$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $B A ， B C$ 于点 $E ， F$ ，再分别以点 $E ， F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $B P ，$ 射线 $B P$ 与 $A C$ 交于点 $D$ ，若 $A D = B D$ ，则 $∠ A =$ .

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15. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{4}{3} ，$ 则 $\frac{a^{2} - b^{2}}{a b} =$ .

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16. 如图，直线 $l_{1} ： y = x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A ，$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ ，直线 $l_{2} ： y = 4 x - 4$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $D$ ，直线 $l_{1} ， l_{2}$ 交于点 $P$ ，若 $x$ 轴上存在点 $Q$ ，使以 $A ， C ， P ， Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，则点 $Q$ 的坐标是.

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17. 已知不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - a < 1 \\ x - 2 b > 3 \end{array}$ 的解集为 $- 1 < x < 1 ，$ 且关于 $y$ 的方程 $\frac{2 - a y}{1 + b y} + 1 = \frac{m}{1 + b y}$ 的解为正数，则 $m$ 的取值范围是.

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 ° ， A B = 2 ， B C = 4$ ，四边形 $A B C D$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，连接对角线 $B D$ ，则 $B D + C D$ 的最小值为.

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19. 如图，在 $R t △ O A B$ 中， $O A = 8 ， A B = 6 ， C$ 为线段 $A B$ 上一点，将 $△ O A C$ 沿 $O C$ 翻折，点 $A$ 落在点 $D$ 处，延长 $C D$ 至点 $E ，$ 连接 $O E$ ，且 $∠ C O E = 45 °$ ，若 $S_{Δ B C E} = \frac{1}{4} S_{Δ O D E}$ ，则 $D E^{2} + A C^{2}$ 的值是.

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三、解答题

20.

(1)、分解因式： $2 a x^{2} + 4 a x + 2 a$ .

(2)、解方程： $\frac{1}{x - 2} = \frac{x - 1}{x - 2} - 3$

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21. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 (x - 5) < x - 7 (1) \\ \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \leq 1 (2) \end{array}$ 并在数轴上表示出它的解集.

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22. 先化简，再求值： $(1 - \frac{x}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ .

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23. 如图，每个小方格的边长为1个单位长度， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，且 $B$ 的坐标是 $(- 4 ， 0) ， C$ 的坐标是 $(- 1 ， 0)$ .

（ 1 ）在图中画出平面直角坐标系 $x O y$ ；

（ 2 ）画出 $Δ A B C$ 关于原点 $О$ 的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

（ 3 ）画出 $Δ A B C$ 绕点 $О$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ 后的图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标.

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24. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C ，$ 延长 $B A$ 至点 $E ，$ 使 $A E = A B$ ，连接 $C E$ 交 $A D$ 于 $F ，$ 且 $F E = F C$ .

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；

(2)、若 $A B ⊥ A C$ ，求证： $A D = C E$ ；

(3)、在（2）的条件下，若 $A B = 3 ， A C = 5 ，$ 求 $△ C A F$ 的面积.

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25. 如图， $A C$ 为 $▱ A B C D$ 的对角线， $∠ B A C = 90 ° ， C E$ 平分 $∠ A C B ， F$ 为射线 $B C$ 上一点.

(1)、如图1， $F$ 在 $B C$ 延长线上，连接 $A F$ 与 $C D$ 交于点 $G ，$ 若 $A C = 8 ， C D = 6$ ；
①当 $G$ 为 $C D$ 中点时，求证： $C F = B C$ ；

②当 $C F = C A$ 时，求 $C G$ 长度；

(2)、如图2， $F$ 在线段 $B C$ 上，连接 $A F$ 与 $C E$ 交点于 $H$ ，若 $∠ D = 3 ∠ A C E ， F A = F C$ ，试探究 $A D ， A C ， A H$ 三条线段之间的数量关系，并说明理由.

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26. 劳动教育是国民教育体系的重要内容，具有树德、增智、强体、育美等综合育人价值，某校密切联合家庭开展劳动教育课程.暑假期间，部分家长组织学生到户外开展劳动实践活动，一名学生带一名家长，家长联系了甲乙两家组织机构，他们的报价相同，每位学生的报价比家长少20元，按报价计算，家长的总费用为50000元，学生的总费用为48000元.

(1)、求家长和学生报价分别是多少元？

(2)、经协商，甲机构的优惠条件是：家长全价，学生都按七折收费﹔乙机构的优惠条件是家长、学生都按 $m (m$ 为整数）折收费，他们选择了总费用较少的乙机构，请问 $m$ 的最大值为多少？

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27. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ A = 60 ° ， M$ 为 $A B$ 中点， $D$ 为射线 $A B$ 上一动点，在 $C D$ 右侧作等边 $△ C D E ，$ 直线 $D E$ 与直线 $C B$ 交于点 $F$ .

(1)、如图1，当点 $D$ 与点 $M$ 重合时，求证： $C E = B E$ ；

(2)、如图2，当点 $D$ 在线段 $A M$ 上（不包括端点 $A ， M$ ）， $C E = B E$ 是否仍然成立，请说明理由；

(3)、点 $D$ 在射线 $A B$ 运动过程中，当 $△ B E F$ 为等腰三角形时，请直接写出 $∠ A B E$ 的度数.

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28. 如图，一次函数 $y = - x + 5$ 与坐标轴交于 $A ， B$ 两点，将线段 $O B$ 以点 $O$ 为中心逆时针旋转一定角度，点 $B$ 的对应点落在第二象限的点 $C$ 处，且 $△ O B C$ 的面积为 $10$ .

(1)、求点 $C$ 的坐标及直线 $B C$ 的表达式；

(2)、点 $D$ 在直线 $A B$ 上第二象限内一点，在 $△ B C D$ 中有一个内角是 $45 °$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、过原点 $O$ 的直线，与直线 $A B$ 交于点 $P$ ，与直线 $B C$ 交于点 $Q$ ，在 $O ， P ， Q$ 三点中，当其中一点是另外两点所连线段的中点时，求 $△ O C P$ 的面积.

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