四川省成都市金牛区2020-2021学年八年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-06 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如果分式 $\frac{x}{x - 3}$ 有意义，那么 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 0$ B、 $x \neq 3$ C、 $x \neq - 3$ D、 $x > 3$

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2. 地铁是城市生活中的重要交通工具，地铁标志作为城市地铁的形象和符号，出现在城市的每个角落，它是城市文化的缩影.下列城市地铁的标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$ B、 $(x + y) (x - 2 y) = x^{2} - x y - 2 y^{2}$ C、 $a^{2} + 2 a + 3 = {(a + 1)}^{2} + 2$ D、 $2 (x + y) = 2 x + 2 y$

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4. 六边形的外角和为（）

A、180° B、360° C、540° D、720°

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5. 在平面直角坐标系内，把点 $A (5 ， - 2)$ 向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， - 4)$ B、 $(8 ， - 4)$ C、 $(8 ， 0)$ D、 $(2 ， 0)$

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6. 把分式 $\frac{x}{x + 2 y} (x + 2 y \neq 0)$ 中的分子分母的 $x ， y$ 同时扩大为原来的2倍，那么分式的值将（）

A、扩大为原来的2倍 B、扩大为原来的4倍 C、不变 D、变为原来的 $\frac{1}{2}$

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7. 平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A + ∠ C = 260 ° ，$ 则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $130^{\circ}$ B、 $100^{\circ}$ C、 $80^{\circ}$ D、 $50^{\circ}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于 $D ， D E ⊥ B C$ ，垂足为 $E$ .若 $C D = 2 ，$ $C E = 1 ，$ 则点 $D$ 到 $A B$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9. 菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 10 ， B D = 8$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积是（）

A、80 B、60 C、40 D、30

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10. 现有 $A ， B$ 两工厂每小时一共能做900个零件，两个工厂工作相同的时间后，得到 $A$ 工厂做的96个零件， $B$ 工厂做的84个零件，设 $A$ 工厂每小时能做 $x$ 个零件，根据题意列出分式方程正确的是（）

A、 $\frac{96}{x} = \frac{84}{900 - x}$ B、 $\frac{84}{x} = \frac{96}{900 - x}$ C、 $\frac{96}{x} = \frac{84}{900 + x}$ D、 $\frac{84}{x} = \frac{96}{900 + x}$

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二、填空题

11. 把 $6 a^{2} b - 3 a b$ 因式分解的结果是.

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12. 当分式 $\frac{| x | - 1}{x + 1}$ 的值为 $0$ 时， $x$ 的值为.

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13. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{2 x - 1} + \frac{m}{1 - 2 x} = 3$ 有增根，则 $m$ 的值是.

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14. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $C D = 3 ，$ 以点 $B$ 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 $B A 、 B C$ 于点 $P 、 Q$ ，再分别以 $P 、 Q$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} P Q$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A B C$ 内交于点 $M$ ，连接 $B M$ 并延长交 $A D$ 于点 $E ，$ 若 $D E = 2 ，$ 则 $▱ A B C D$ 的周长为.

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15. 已知 $\frac{3}{x} = \frac{4}{y} = \frac{5}{z}$ ，则 $\frac{2 x + 4 y - z}{x - 3 y + 5 z} =$ .

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x$ 和 $y = m x + n$ 的图象如图所示，则关于 $x$ 的一元一次不等式 $k x > m x + n$ 的解集是.

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17. 已知 $a$ 为整数，关于 $x$ 的方程 $a (2 x + 1) = 5$ 有整数解，关于 $y$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} y - a > 0 \\ 2 y - 7 \leq 1 \end{array}$ 至少有 $4$ 个整数解，则符合条件的 $a$ 值有.

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18. 如图，长方形 $A B C D$ 中， $A D = 3 ， A B = 2 ，$ 点 $P$ 是线段 $A D$ 上一动点，连接 $B P$ ，则 $B P + \frac{1}{2} D P$ 的最小值为.

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19. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 45 ° ， ∠ A B C = 15 ° ，$ 延长 $B A$ 到点 $G$ ，延长 $A C$ 到点 $E$ ，使得 $A G = A E ，$ 连接 $E G$ ，延长 $B C$ 交 $G E$ 于点 $D ，$ 若 $B D = \sqrt{2} A G$ ，则 $\frac{D E}{B D} =$ .

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三、解答题

20.

(1)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 (x - 1) \geq 2 x - 4 (1) \\ \frac{2 x + 1}{3} > x - 1 (2) \end{array}$

(2)、解方程： $\frac{2 x}{x - 2} + \frac{3}{2 - x} = 1$

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21. 先化简，再求值： $(x - 4 + \frac{4}{x}) \div \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$

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22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 $1$ 个单位的正方形， $Δ A B C$ 的顶点均在格点上，点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ .

（ 1 ）画出 $Δ A B C$ 向左平移 $4$ 个单位所得的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（ 2 ）画出将 $Δ A B C$ 绕点 $B$ 按顺时针旋转 $90 °$ 所得的 $△ A_{2} B C_{2}$ （点 $A 、 C$ 分别对应点 $A_{2} 、 C_{2}$ ）；

（ 3 ）线段 $B_{1} C_{2}$ 的长度为▲ .

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23. 四边形 $A B C D$ 是平行四边形，对角线 $A C ， B D$ 交于点 $O ，$ $∠ A D B = 90 °$ ，点 $E$ 是 $A B$ 边上一点， $A E = D E ，$ 连接 $O E$ ，求证： $O E = \frac{1}{2} A D$ .

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24. 某商场用 $15000$ 元购买甲品牌 $T$ 恤短袖，用25000元购买乙品牌 $T$ 恤短袖，购买的乙品牌 $T$ 恤短袖数量是甲品牌 $T$ 恤短袖数量的2倍，两种品牌 $T$ 恤短袖每件进价与利润如下表所示：

$T$ 恤短袖品牌

进价（单位：元/件）

利润（单位：元/件）

甲

$a$

8

乙

$a - 10$

8

(1)、求 $a$ 的值.

(2)、甲品牌 $T$ 恤短袖全部降价销售，乙品牌 $T$ 恤短袖售价不变，上述购买的两种 $T$ 恤短袖全部售完，利润不低于5500元，则每件甲品牌 $T$ 恤短袖的降价不超过多少元？

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25. 如图1，在等边三角形 $A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于 $D ， C E ⊥ A B$ 于 $E ， A D$ 与 $C E$ 相交于点 $O$ .

(1)、求证： $O A = 2 D O$ ；

(2)、如图2，若点 $G$ 是线段 $A D$ 上一点， $C G$ 平分 $∠ B C E ， ∠ B G F = 60 ° ， G F$ 交 $C E$ 所在直线于点 $F$ .求证： $G B = G F$ .

(3)、如图3，若点 $G$ 是线段 $O A$ 上一点（不与点 $O$ 重合），连接 $B G$ ，在 $B G$ 下方作 $∠ B G F = 60 ° ，$ 边 $G F$ 交 $C E$ 所在直线于点 $F$ .猜想： $O G ， O F 、 O A$ 三条线段之间的数量关系，并证明.

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26. 《成都市生活垃圾管理条例》将于2021年3月1日起正式施行，将垃圾按照可回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类进行分类管理某区环卫局准备购买甲、乙两种型号的垃圾箱.经过市场调研发现：购买2个甲型垃圾箱和1个乙型垃圾箱共需320元；购买1个甲型垃圾箱和3个乙型垃圾箱共需460元

(1)、求每个甲型垃圾箱和乙型垃圾箱分别为多少元？

(2)、该区需要购买甲、乙两种型号的垃圾箱共30个，其中购买甲型垃圾箱不超过20个，且总费用不得超过3300元，请问共有几种购买方案？

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27. 四边形 $A B C D$ 和四边形 $B E D F$ 都是矩形， $B C$ 与 $D F$ 交于点 $G ， A D$ 与 $B E$ 交于点 $H$ .

(1)、如图1，当 $A B = D E$ 时，求证： $B H = D H$ ；

(2)、如图2，当 $A B = D E$ 时，连结 $C H$ ，若 $B C = 2 A B$ ，求 $\frac{C H}{C D}$ 的值；

(3)、如图3，当 $A B \neq D E$ 时，连结 $C H ， G H ，$ 若 $△ C G H$ 为等边三角形，求 $\frac{A B}{D E}$ 的值

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28. 如图1，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1} ： y = - x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B ，$ 与直线 $l_{2}$ 交于点 $C (m ， 3)$ ，直线 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $D (- 2 ， 0)$ .

(1)、求直线 $l_{2}$ 的解析式；

(2)、如图2，点 $P$ 在线段 $C D$ 上，连接 $A P ， 3 S_{Δ A P D} = 2 S_{Δ A C D}$ ，过点 $P$ 的直线交 $x$ 轴负半轴于点 $M ，$ 交 $y$ 轴正半轴于点 $N$ ，请问： $\frac{1}{3 M Q} + \frac{1}{2 N O}$ 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

(3)、 $∴$ $\frac{1}{3 M O} + \frac{1}{2 N O} = \frac{1}{3 \times (\frac{4}{3} + \frac{2}{k})} + \frac{1}{2 \times (\frac{4}{3} k + 2)} = \frac{1}{4 + \frac{6}{k}} + \frac{1}{\frac{8}{3} k + 4} = \frac{1}{\frac{4 k + 6}{k}} + \frac{1}{\frac{8 k + 12}{3}} = \frac{k}{4 k + 6} + \frac{3}{8 k + 12} = \frac{2 k + 3}{8 k + 12} = \frac{1}{4}$ 当点 $E$ 在直线 $l_{1}$ 上运动时，平面内是否存在一点 $F$ ，使得以点 $C 、 D 、 E 、 F$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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$T$ 恤短袖品牌	进价（单位：元/件）	利润（单位：元/件）
甲	$a$	8
乙	$a - 10$	8