浙江省北斗星盟2020-2021学年高二上学期数学12月阶段性联考试卷

试卷更新日期：2021-08-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 2 ， x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{11}{3}$

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3. 已知 $a$ 为实数，“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} < a^{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知直线 $l_{1} ： y = \sqrt{2} x + 2$ ，直线 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 关于直线 $y = - x + 1$ 对称，则直线 $l_{2}$ 的斜率为（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.则该多面体的体积为（）

A、8 B、6 C、 $\frac{28}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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6. 已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)，斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于不同的 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点为P(2，4)，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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7. 下列命题中，正确的是（）

A、若 $A$ ， $B$ 是平面 $α$ 上的点， $A_{1}$ ， $B_{1}$ 是平面 $β$ 上的点， $A A_{1} / / B B_{1}$ 且 $A A_{1} = B B_{1}$ ，则 $α / / β$ B、若 $a$ ， $b$ 是两条直线，且 $a / / b$ ，则直线a平行于经过直线b的所有平面 C、若直线 $a / /$ 平面 $α$ ，点 $P \in α$ ，则平面 $α$ 内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条 D、若直线a与平面 $α$ 不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行

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8. 若直线 $x + y - m = 0$ 与曲线 $y = 2 - \sqrt{- x (x + 2)}$ 没有公共点，则实数m所的取值范围是（）

A、 $[1 - \sqrt{2} ， 2]$ B、 $(- \infty ， 1 - \sqrt{2}) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $[1 - \sqrt{2} ， 1 + \sqrt{2}]$ D、 $(- \infty ， 1 - \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2} ， + \infty)$

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9. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ ，过点 $P (2 ， 1)$ 引抛物线的两条弦 $P A$ 、 $P B$ ，分别交抛物线于 $A ， B$ 两点，且 $A P ⊥ B P$ ，则直线 $A B$ 恒过定点坐标为（）

A、 $(- 2 ， 5)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- 3 ， 3)$ D、 $(- 3 ， 5)$

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10. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $B C = 2 A B = 2$ ， $A A_{1} = A C = \sqrt{3}$ ， $M$ 是 $B_{1} C_{1}$ 中点，过 $A M$ 作这个三棱柱的截面，当截面与平面 $A B C$ 所成的锐二面角最小时，这个截面的面积为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{6}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

11. 已知直线 $l$ 过点 $A (2 ， 1)$ ， $B (3 ， 0)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为，直线 $l$ 的方程为.

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12. 在空间直角坐标系中，点 $P (4 ， - 2 ， 3)$ 到原点的距离为，关于z轴对称的点的坐标为.

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13. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A_{1} E} = \frac{1}{3} \vec{A_{1} C_{1}}$ ，若 $\vec{A E} = x \vec{A A_{1}} + y \vec{A B} + z \vec{A D}$ ，则 $x =$ ， $y + z =$ .

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14. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为；准线方程为.

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15. 已知 $m \in R$ ，命题 $p ：$ 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率 $e \in (1 ， \sqrt{2})$ ；命题 $q ：$ 方程 $\frac{x^{2}}{m^{2} + 4} + \frac{y^{2}}{5 m} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆，若命题p和命题q有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是.

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16. 四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面ABCD ，底面ABCD是正方形，且 $P D = 1$ ， $A B = 3$ ，G是 $△ A B C$ 的重心，则PG与面PAB所成角 $θ$ 的正弦值为.

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17. 如图，两个离心率相等的椭圆 $Γ_{1}$ 与椭圆 $Γ_{2}$ ，焦点均在x轴上A ， B分别为椭圆 $Γ_{2}$ 的右顶点和上顶点，过A ， B分别作椭圆 $Γ_{1}$ 的切线AC ， BD ，若AC与BD的斜率之积为 $- \frac{5}{7}$ ，则椭圆 $Γ_{1}$ 的离心率为.

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三、解答题

18. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ ，动直线 $l ： (m - 1) x + (2 m + 1) y - 7 m + 1 = 0$

(1)、判断直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点；

(2)、动直线l与圆C所成的弦中，求以最长弦和最短弦为对角线的四边形ABCD的面积.

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19. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ，D为 $A_{1} C_{1}$ 中点，M为棱 $C C_{1}$ 上一个动点.

(1)、若 $A_{1} M ⊥$ 面 $A B_{1} D$ ，求 $C M$ 的长；

(2)、当M为线段 $C C_{1}$ 的中点时，求直线 $A B_{1}$ 与平面 $A_{1} B M$ 所成角的正弦值.

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20. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面ABCD是梯形， $A B / / C D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $S D = C D = 2 A B = 2$ ，点E ， F分别是BC ， SD的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面SAB；

(2)、若 $S B = S C$ ， $E F = 2$ ，求二面角 $B - S C - D$ 的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，焦距为2.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $P (0 ， m)$ 作两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $l_{1}$ 切椭圆C于M ， $l_{2}$ 交椭圆C于A ， B不同两点，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的取值范围.

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22. 如图所示，O为坐标原点，点 $M (2 ， 2)$ 到抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线的距离为3.作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = \frac{24}{5}$ 的斜率小于 $0$ 的切线 $l$ ， $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $∠ A M O = ∠ B M O$ .

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、求直线 $l$ 的方程.

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