上海市嘉定二中2020-2021学年高二上学期第一次质量检测数学试题

试卷更新日期：2021-08-05 类型：月考试卷

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一、填空题

1. $\lim_{n \to \infty} \frac{- n^{2} + n - 3}{2 n^{2} - n} =$ ．

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2. 设 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{3} = 3 a_{3}$ ，则公比 $q =$ .

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3. $\lim_{n \to \infty} [n (1 - \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{4}) (1 - \frac{1}{5}) \dots (1 - \frac{1}{n + 2})] =$ .

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4. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+3n+5，则a_n= ．

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5. 在等比数列{a_n}中，前n项和S_n=2ⁿ+a（n∈N*），则a= ．

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6. $\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{2019 n})}^{2019} =$ .

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7. 设无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q = - \frac{1}{2}$ ， $a_{1} = 1$ ，则 $\lim_{n \to \infty} (a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2 n}) =$ ．

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8. 已知 $\lim_{n \to \infty} (\frac{3 n^{2} + c n + 1}{a n^{2} + b n} - 4 n) = 5$ ，则 $a + b + c =$ .

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9. 计算： $\lim_{n \to \infty} (\frac{n^{2} + 1}{n^{3}} + \frac{n^{2} + 2}{n^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{n^{2} + n}{n^{3}}) =$ .

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10. 若数列 ${a_{n}}$ 是首项为1，公比为 $a - \frac{3}{2}$ 的无穷等比数列，且 ${a_{n}}$ 各项的和为 $a$ ，则 $a$ 的值是.

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11. 一个球自 $12 m$ 高的地方自由落下，触地后的回弹高度是下落高度的 $\frac{1}{4}$ ，到球停止在地上为止，则球运动的路程的总和是m.

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = {\begin{array}{l} \frac{1}{n} ， n = 1 ， 2 \\ {(\frac{1}{2})}^{n} ， n \geq 3 \end{array}$ ， $n \in N^{*}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，则 $\lim_{n \to \infty} S_{n} =$ .

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二、单选题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ），如果数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 和 ${a_{n} - b_{n}}$ 的极限均存在，那么在下列数列中，其极限不一定存在的数列是（）．

A、 ${a_{n}}$ B、 ${3 a_{n} - 2 b_{n}}$ C、 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ D、 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$

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14. 用数学归纳法证明“ $(n + 1) (n + 2) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (n + n) = 2^{n} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (2 n - 1)$ ”，从“k到 $k + 1$ ”左端需增乘的代数式为（）

A、 $2 k + 1$ B、 $2 (2 k + 1)$ C、 $\frac{2 k + 1}{k + 1}$ D、 $\frac{2 k + 3}{k + 1}$

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15. 若无穷等比数列中任何一项都等于该项后面所有各项和，则等比数列的公比是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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16. 已知无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q ，前n项和为 $S_{n}$ ，且 $\lim_{n \to \infty} S_{n} = S$ ，下列条件中，使得 $2 S_{n} < S (n \in N^{*})$ 恒成立的是（）.

A、 $a_{1} > 0 ， 0.6 < q < 0.7$ B、 $a_{1} < 0 ， - 0.7 < q < - 0.6$ C、 $a_{1} > 0 ， 0.7 < q < 0.8$ D、 $a_{1} < 0 ， - 0.8 < q < - 0.7$

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三、解答题

17. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = - 1 ， a_{n + 1} = S_{n} \cdot S_{n + 1}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 是等差数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} + a_{n + 1} = 4 n$ ，且 ${a_{n}}$ 为等差数列，数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_{n}}{n a_{n}}$ .

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19. 为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车.每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车120辆，混合动力型公交车300辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入 $m$ 辆.设 $a_{n}$ ， $b_{n}$ 分别为第 $n$ 年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，设 $S_{n}$ ， $T_{n}$ 分别为 $n$ 年里投入的电力型公交车，混合动力型公交车的总数量.

(1)、求 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，并求 $n$ 年里投入的所有新公交车的总数 $F_{n}$ ；

(2)、该市计划用8年的时间完成全部更换，求 $m$ 的最小值.

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20. 如图所示，设正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积为1，正方形 $A_{1} A_{2} B_{2} C_{2}$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ，正方形 $A_{2} A_{3} B_{3} C_{3}$ 的面积为 $\frac{1}{4}$ ，它们的面积都比前者缩小 $\frac{1}{2}$ ，无限地作这种正方形.

(1)、求所有这种正方形面积的和；

(2)、点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 、 $\cdot \cdot \cdot$ 、 $A_{n}$ 、 $\cdot \cdot \cdot$ ，当 $n$ 无限增大时，求点 $A_{n}$ 无限地趋近哪一个点？

(3)、点 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ 、 $\cdot \cdot \cdot$ 、 $B_{n}$ 、 $\cdot \cdot \cdot$ ，写出 $B_{n}$ 点的坐标，当 $n$ 无限增大时，求点 $B_{n}$ 无限地趋近哪一个点？

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21. 设数列 ${a_{n}} (n = 1, 2, \dots)$ 是等差数列，且公差为d ，若数列 ${a_{n}}$ 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.

(1)、若 $a_{1} = 4, d = 2$ ，求证：该数列是“封闭数列”；

(2)、试判断数列 $a_{n} = 2 n - 7 (n \in N^{*})$ 是否是“封闭数列”，为什么?

(3)、设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若公差 $d = 1, a_{1} > 0$ ，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使 $\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}}) = \frac{11}{9}$ ；若存在，求 ${a_{n}}$ 的通项公式，若不存在，说明理由.

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