江苏省镇江市2020-2021学年高二上学期数学12月校际联考试卷

试卷更新日期：2021-08-05 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 全称量词命题“ $\forall x \geq 0$ ， $2^{x} \geq 1$ ”的否定为（）

A、 $\exists x < 0$ ， $2^{x} < 1$ B、 $\forall x \geq 0$ ， $2^{x} < 1$ C、 $\exists x \geq 0$ ， $2^{x} < 1$ D、 $\forall x < 0$ ， $2^{x} < 1$

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2. 双曲线方程为 $x^{2} - 2 y^{2} = 1$ ，则它的右焦点坐标为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 0)$ B、 $(\frac{\sqrt{5}}{2} ， 0)$ C、 $(\frac{\sqrt{6}}{2} ， 0)$ D、 $(\sqrt{3} ， 0)$

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3. 祖暅（公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为 $2 b$ ，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面 $β$ 上.以平行于平面 $β$ 的平面于距平面 $β$ 任意高d处可横截得到 $S_{圆}$ 及 $S_{环}$ 两截面，可以证明 $S_{圆} = S_{环}$ 总成立.据此，短轴长为 $6 cm$ ，长轴为 $8 cm$ 的椭球体的体积是（） ${cm}^{3}$

A、 $24 π$ B、 $48 π$ C、 $192 π$ D、 $384 π$

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4. 正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A B = \sqrt{2} B B_{1}$ ，则 $A B_{1}$ 与 $C_{1} B$ 所成的角的大小为（）

A、60° B、90° C、45° D、120°

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5. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .若 $a_{5} + a_{6} = 24$ ， $S_{8} = 48$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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6. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第（）天，蒲草和菀草高度相同.（已知 $\lg 2 = 0.3010$ ， $\lg 3 = 0.4771$ ，结果精确到0.1）（）

A、3.5 B、3.6 C、3.7 D、3.8

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7. 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，设其方程为 $x^{2} = 2 y (0 \leq y \leq 10)$ ，在杯内放置一个玻璃球，要使玻璃球能接触到酒杯的底部，玻璃球的半径的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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8. 如图，四棱柱 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，侧棱 $A A^{'} ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 3 \sqrt{2}$ ， $A A^{'} = 6$ ，以D为圆心， $D C^{'}$ 为半径在侧面 $B C C^{'} B^{'}$ 上画弧，当半径的端点完整地划过 $C^{'} E$ 时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{6}}{4} π$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4} π$ C、 $\frac{9 \sqrt{6}}{2} π$ D、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2} π$

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9. 已知点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上一点（异于椭圆的顶点）， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为 $C$ 的两个焦点， $A$ 、 $B$ 是椭圆的左右两个顶点，则下列结论正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为16 B、 $| P F_{1} |$ 的最大值为7 C、准线方程为 $y = \pm \frac{7}{3}$ D、直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率的乘积为 $- \frac{16}{7}$

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二、多选题

10. 若m、n是两条不重合的直线， $α$ 、 $β$ 为两个不重合的平面，下列说法正确的有（）

A、若 $m / / n ， m / / α$ ，则 $n / / α$ B、若 $m / / α ， n / β ， m / / n$ ，则 $α / / β$ C、若 $m / / n ， n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$ D、若 $m ⊥ α ， n ⊥ β ， m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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11. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （其中 $a > b > 0$ ）的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $e_{1} e_{2} < 1$ B、 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = 2$ C、 $e_{1} e_{2} > 1$ D、 $e_{1} + e_{2} < 2$

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12. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差为d ，前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的首项为 $b_{1}$ ，公比为q ，前n项和为 $T_{n}$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $a_{1} > 0 ， d < 0$ ，则存在正整数n使得 $a_{n} > 0$ 且 $a_{n + 1} < 0$ B、若 $a_{1} < 0 ， d > 0$ ，则 $S_{n}$ 有最小值无最大值 C、数列 ${b_{n}}$ 是单调递增数列的一个充分不必要的条件是 $b_{1} > 0 ， q > 1$ D、 ${(T_{2 n} - T_{n})}^{2} = T_{n} (T_{3 n} - T_{2 n})$ 对于任意正整数n恒成立

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三、填空题

13. 空间向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， 0 ， 1) ， \vec{c} = (1 ， 2 ， m)$ ，若三个向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 共面，则 $\vec{a}$ 可用 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 表示为.

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14. 设数列 ${a_{n}}$ 是以2为首项，1为公差的等差数列， ${b_{n}}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 $a_{b_{1}} + a_{b_{2}} + a_{b_{3}} + \dots + a_{b_{10}} =$ .

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15. 已知F为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为直线 $x = - \frac{a^{2}}{c}$ 上一点，O为坐标原点，已知 $\vec{O P} = \vec{O F} + \vec{O M}$ ，且 $| \vec{O M} | = | \vec{O F} |$ ，则双曲线C的离心率为.

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16. 圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于 $F_{1} ， F_{2}$ ，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于.

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四、解答题

17. 已知

{a_{n}}

为等差数列，

a_{1} ， a_{2} ， a_{3}

分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且

a_{1} ， a_{2} ， a_{3}

中的任何两个数都不在下表的同一列.

	第一列	第二列	第三列
第一行
第二行	4	6	9
第三行	12	8	7

请从① $a_{1} = 2$ ，② $a_{1} = 1$ ，③ $a_{1} = 3$ 的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列 ${a_{n}}$ 存在；并在此存在的数列 ${a_{n}}$ 中，试解答下列两个问题.

(1)、直接将满足要求的条件填入相应的空格里，并求数列

{a_{n}}

的通项公式；

(2)、设数列

{b_{n}}

满足

b_{n} = a_{n} \cdot 2^{\frac{a_{n} + 2}{3}}

，求数列

{b_{n}}

的前n项和

T_{n}

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18. 已知过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，斜率为 $2 \sqrt{2}$ 的直线交抛物线于两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $| A B | = 9$ .

(1)、求该抛物线的方程；

(2)、设O为坐标原点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为C ，证明：B、O、C三点共线.

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19. 如图，在直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A₁A＝ $\sqrt{6}$ ，M是CC₁的中点．

(1)、求证：A₁B⊥AM；

(2)、求二面角B-AM-C的平面角的大小．.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 2}$ ，且 $a_{1} = 2$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n + 1} - b_{n} = a_{n} b_{n}$ ，且 $b_{1} = 2$ ，( $n \in N^{*}$ ).

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，并求通项 $a_{n}$ ；

(2)、解关于 $n$ 的不等式： $2^{\frac{2}{a_{n}}} < b_{n}$ .

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21. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为正方形，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $P A = \sqrt{2}$ .

(1)、求 $P C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(2)、在棱 $P C$ 上存在一点 $E$ ，使得平面 $B D E ⊥$ 平面 $B D P$ ，求 $\frac{P E}{P C}$ 的值.

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点F ， B分别是椭圆的右焦点与上顶点，O为坐标原点，记 $△ O B F$ 的周长与面积分别为C和S.

(1)、求 $\frac{C}{\sqrt{S}}$ 的最小值；

(2)、如图，过点F的直线l交椭圆于P ， Q两点过点F作l的垂线，交直线 $x = 3 b$ 于点R ，当 $\frac{C}{\sqrt{S}}$ 取最小值时，求 $\frac{| F R ∣}{| P Q ∣}$ 的最小值.

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