2015-2016学年四川省内江市高一下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-22 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知非零实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是（）

A、a²＞b² B、 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$ C、a²b＞ab² D、 $\frac{a}{b^{2}} ＞ \frac{b}{a^{2}}$

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2. 设 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（1，1）， $\vec{c}$ = $\vec{a}$ +k $\vec{b}$ ，若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则实数k的值等于（）

A、﹣ $\frac{3}{2}$ B、﹣ $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 若cos（ $\frac{π}{4}$ ﹣α）= $\frac{3}{5}$ ，则sin2α=（）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、﹣ $\frac{1}{5}$ D、﹣ $\frac{7}{25}$

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4. 已知点A（0，1），B（3，2），向量 $\vec{A C}$ =（﹣4，﹣3），则向量 $\vec{B C}$ =（　　）

A、（﹣7，﹣4） B、（7，4） C、（﹣1，4） D、（1，4）

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5. 不等式ax²+bx+2＞0的解集是 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{3})$ ，则a+b的值是（）

A、10 B、﹣10 C、14 D、﹣14

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2 \cos θ ， 2 \sin θ)$ ， $θ = (\frac{π}{2} ， π) ， \vec{b} = (0 ， - 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $θ - \frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{2} + θ$ C、 $\frac{3 π}{2} - θ$ D、θ

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7. 数列{a_n}为等差数列，满足a₂+a₄+…+a₂₀=10，则数列{a_n}前21项的和等于（）

A、 $\frac{21}{2}$ B、21 C、42 D、84

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8. $\frac{\sin 47^{0} - \sin 17^{0} \cos 30^{0}}{\cos 17^{0}}$ =（）

A、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）

A、一定是锐角三角形 B、一定是直角三角形 C、一定是钝角三角形 D、可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

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10. | $\vec{O A}$ |=1，| $\vec{O B}$ |= $\sqrt{3}$ ， $\vec{O A}$ • $\vec{O B}$ =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设 $\vec{O C}$ =m $\vec{O A}$ +n $\vec{O B}$ （m、n∈R），则 $\frac{m}{n}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 下列关于公差d＞0的等差数列{a_n}的四个命题：
p₁：数列{a_n}是递增数列；
p₂：数列{na_n}是递增数列；
p₃：数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是递增数列；
p₄：数列{a_n+3nd}是递增数列；
其中真命题是（）

A、p₁ ， p₂ B、p₃ ， p₄ C、p₂ ， p₃ D、p₁ ， p₄

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12. 已知 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C} ， | \vec{A B} | = \frac{1}{t} ， | \vec{A C} | = t$ ，若P点是△ABC所在平面内一点，且 $\vec{A P} = \frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{4 \vec{A C}}{| \vec{A C} |}$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最大值等于（）

A、13 B、15 C、19 D、21

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二、填空题

13. 函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x的单调增区间为．

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14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= $\frac{4}{5}$ ，cosC= $\frac{5}{13}$ ，a=1，则b= ．

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15. 已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n﹣3（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为．

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16. 设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，则下列命题：
①若ab＞c² ，则C $< \frac{π}{3}$ ；
②若a+b＞2c，则C $< \frac{π}{3}$ ；
③若a³+b³=c³ ，则C $< \frac{π}{2}$ ；
④若（a+b）c＜2ab，则ab＞c²；
⑤若（a²+b²）c²＜2a²b² ，则C $> \frac{π}{3}$ ．
其中正确命题是（写出所有正确命题的序号）．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ =（ $\frac{1}{\sin x}$ ， $\frac{- 1}{\sin x}$ ）， $\vec{b}$ =（2，cos²x﹣sin²x）．

(1)、试判断 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 能否平行？请说明理由．

(2)、若x∈（0， $\frac{π}{3}$ ]，求函数f（x）= $\vec{a}$ • $\vec{b}$ 的最小值．

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18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3 $\sqrt{15}$ ，b﹣c=2，cosA=﹣ $\frac{1}{4}$ ．

(1)、求a和sinC的值；

(2)、求cos（2A+ $\frac{π}{6}$ ）的值．

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19. 已知数列{a_n}与{b_n}，若a₁=3且对任意正整数n满足a_n+1﹣a_n=2，数列{b_n}的前n项和S_n=n²+a_n ．

(1)、求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)、求数列{ $\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ }的前n项和T_n ．

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20. 如图，化工厂的主控制表盘高BC=1米，表盘底边距地面2米，设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2米，问值班人员坐在什么位置上看表盘效果最佳？（即视角∠BAC最大）

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21. 已知向量 $\vec{m}$ =（sinA，cosA）， $\vec{n}$ =（cosB，sinB）， $\vec{m} \cdot \vec{n}$ =sin2C且A、B、C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．

(1)、求角C的大小；

(2)、若sinA，sinC，sinB成等比数列，且 $\vec{C A} \cdot (\vec{A B} - \vec{A C})$ =18，求c的值．．

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22. 已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且a_n＞0，a_n²+a_n=2S_n ．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、令b_n= $\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$ ，记T_n=b₁²b₃²…b_2n_﹣₁² ，求证：T_n≥ $\frac{1}{4 n}$ ．

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